Równoległościan - trudne

[BrYcH]

Witam
Oto zadanie:

Wykaż że suma kwadratów wszystkich przekątnych równoległościanu jest równa sumie kwadratów wszystkich jego krawędzi.

Piszę tu bo jestem zdesperowany z powodu tego zadania, jak coś wymyślicie będe baaaaardzo dźwięczny. Ja już długo walczę z tym zadaniem i nie wiele mi do tej pory się rozjaśniło

Pzdr.

[W_Zygmunt]

W równoległoboku KGHJ
\(\displaystyle{ k^{2}\,=\,a^{2} + b^{2} - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}\)
\(\displaystyle{ j^{2}\,=\,a^{2} + b^{2} - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos(180^{o} - )}\)
Dodajemy stronami
\(\displaystyle{ k^{2} + j^{2}\,=\,a^{2} + b^{2} - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha ) + a^{2} + b^{2} - 2\cdot a\cdot b\cdot \cos(180^{o} - )}\)
\(\displaystyle{ j^{2} + k^{2}\,=\,2\cdot a^{2} + 2\cdot b^{2}}\)

Stosując powyższe rozumowanie do równoległoboków KHCE i JGBD
\(\displaystyle{ e^{2} + f^{2}\,=\,2\cdot c^{2} + 2\cdot k^{2}}\)
\(\displaystyle{ g^{2} + h^{2}\,=\,2\cdot c^{2} + 2\cdot j^{2}}\)
\(\displaystyle{ e^{2} + f^{2} + g^{2} + h^{2}\,=\,2\cdot c^{2} + 2\cdot k^{2} + 2\cdot c^{2} + 2\cdot j^{2}}\)
Teraz wystarczy podstawić i mamy wynik.

[BrYcH]

No cóż jeseteś po prostu miszczu. Nie spodziewałem się nawet że rozwiązanie może być tak krótkie i przejżyste. Gratuluję i dziękuję.