Bryły obrotowe

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Awatar użytkownika
Yammi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 26 maja 2009, o 17:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 1 raz

Bryły obrotowe

Post autor: Yammi »

Wiem, że już prawie wakacje, ale moja pani od matematyki nie potrafi sobie odpuścić. A bryły obrotowe nie są moją dobrą stroną, więc proszę was o pomoc.

zad.1. ZROBIONE
Kula o promieniu długości 3 wpisana jest w stożek, którego kąt rozwarcia ma miarę 120 stopni. Oblicz długość tworzącej stożka.
ODP.: \(\displaystyle{ 4\sqrt{3}+6}\)

zad.2.
Wszystkie krawędzie ostrosłupa czworokątnego prawidłowego mają długość 8. Oblicz objętość kuli opisanej na tym ostrosłupie i pole powierzchni kuli wpisanej w ten ostrosłup. Sorki błąd przy przepisywaniu.
ODP.: opisanej \(\displaystyle{ \frac{512 \sqrt{2}}{3}\pi}\) pole pow.\(\displaystyle{ 64(2-\sqrt{3})\pi}\)

zad.3. ZROBIONE
Oblicz długość promienia kuli opisanej na ostrosłupie trójkątnym prawidłowym o krawędzi podstawy długości 4 i krawędzi bocznej długości 3.
ODP.: \(\displaystyle{ \frac{9\sqrt{33} }{22}}\)

zad.4. ZROBIONE
Jedna z podstaw walca jest zawarta w podstawie ostrosłupa trójkątnego prawidłowego o krawędzi podstawy długości 6 i wysokości długości 4. Promień podstawy walca ma długość równą 1. Jaką największą wysokość może mieć walec, aby był zawarty w tym ostrosłupie?
ODP.: \(\displaystyle{ \frac{4(3- \sqrt{3})}{3}}\)

zad.5. ZROBIONE
Stożek, którego pole powierzchni bocznej jest równe \(\displaystyle{ 9 \sqrt{10}\pi}\), jest wpisany w kulę o promieniu długości 5. Oblicz objętość stożka.
ODP.: \(\displaystyle{ 27\pi}\)

zad.6. ZROBIONE
Oblicz pole powierzchni kuli opisanej na stożku o promieniu podstawy długości 3 i wysokości długości 9.
ODP.: \(\displaystyle{ 100\pi}\)

zad.7. ZROBIONE
W stożek o promieniu podstawy długości 9 i wysokości długości 12 wpisano walec w ten sposób, że jedna podstawa walca zawiera się w podstawie stożka, a brzeg jego drugiej podstawy zawiera się w powierzchni bocznej stożka. Oblicz długość promienia podstawy i długość wysokości walca, wiedząc, że pole powierzchni bocznej walca jest równe \(\displaystyle{ 48\pi}\).

ODP.: dł. promienia podst. walca jest równa 6, a długość wysokości jest równa 4 lub długości promienia podst. walca jest równa 3, a dł. wys. jest równa 8

zad.8. ZROBIONE
W stożek wpisano sześcian w taki sposób,że cztery jego wierzchołki należą do podstawy stożka, a cztery pozostałe do powierzchni bocznej stożka. Oblicz objętość sześcianu, wiedząc, że tworząca stożka ma długość b, a kąt między tworzącą a płaszczyzną podstawy stożka ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\)/
ODP.: \(\displaystyle{ \frac{8b^{3}sin^{3} \alpha}{(2+ \sqrt{2}tg \alpha)^{3}}}\)

zad.9. ZROBIONE
W walec wpisano stożek o wysokości długości równej \(\displaystyle{ \sqrt{15}}\). Podstawa stożka pokrywa się z podstawą walca, a wierzchołek stożka jest środkiem drugiej podstawy walca. Powierzchnia boczna stożka jest 2 razy większa od powierzchni bocznej walca. Oblicz tangens kąta, jaki tworzy tworząca stożka z jego wysokością oraz oblicz objętość stożka.
ODP.: tangens kąta jest równy \(\displaystyle{ \sqrt{15}}\), \(\displaystyle{ V=75 \sqrt{15}\pi}\)

zad.10. ZROBIONE
W stożek wpisano ostrosłup prawidłowy czworokątny, w ten sposób, że wierzchołek ostrosłupa pokrywa się z wierzchołkiem stożka, a podstawa ostrosłupa jest wpisana w podstawę stożka. Objętość stożka jest równa [tez]8pi[/latex]. Ile jest równa objętość ostrosłupa?
ODP.: 16

Dziękuję wszystkim za pomoc.
Ostatnio zmieniony 13 cze 2009, o 15:37 przez Yammi, łącznie zmieniany 4 razy.
agulka1987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3090
Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 879 razy

Bryły obrotowe

Post autor: agulka1987 »

10.

\(\displaystyle{ V_{s} = 8\pi}\)

\(\displaystyle{ 8\pi = \frac{1}{3}\pi \cdot r^2 \cdot H}\)

\(\displaystyle{ r^2 \cdot H = 24}\)

\(\displaystyle{ r= \frac{2 \sqrt{6H} }{H}}\)


podstawą ostrosłupa jest kwadrat wpisany w okrag \(\displaystyle{ r= \frac{a \sqrt{2} }{2}}\)


\(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{6H} }{H} = \frac{a \sqrt{2} }{2}}\)


\(\displaystyle{ a= \frac{4 \sqrt{6H} }{H \sqrt{2} } = \frac{4 \sqrt{3H} }{H}}\)


\(\displaystyle{ V_{o} = \frac{1}{3}a^2 \cdot H}\)

\(\displaystyle{ V_{o} = \frac{1}{3} \cdot ( \frac{4 \sqrt{3H} }{H})^2 \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{48H}{H^2} \cdot H = 16}\)-- 12 czerwca 2009, 13:29 --9.

\(\displaystyle{ 2P_{bw}=P_{bs}}\)

\(\displaystyle{ 2(2\pi \cdot r \cdot H) = \pi \cdot r \cdot l}\)

\(\displaystyle{ 4\pi \cdot r \cdot \sqrt{15} = \pi \cdot r \cdot l}\)

\(\displaystyle{ l= \frac{4\pi \cdot r \cdot \sqrt{15} }{\pi \cdot r} = 4 \sqrt{15}}\)


\(\displaystyle{ r= \sqrt{l^2-H^2} = \sqrt{(4 \sqrt{15})^2 - ( \sqrt{15})^2 } = \sqrt{240-15} = \sqrt{225} = 15}\)


\(\displaystyle{ tg\alpha = \frac{r}{H} = \frac{15}{ \sqrt{15} } = \frac{15 \sqrt{15} }{15} = \sqrt{15}}\)


\(\displaystyle{ V_{s} = \frac{1}{3}\pi \cdot r^2 \cdot H = \frac{1}{3}\pi \cdot 15^2 \cdot \sqrt{15} = \frac{1}{3}\pi \cdot 225 \sqrt{15} = 75 \sqrt{15}\pi}\)
Awatar użytkownika
Yammi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 26 maja 2009, o 17:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 1 raz

Bryły obrotowe

Post autor: Yammi »

Może mi ktoś to sprawdzić. Do zad. 8 i nie jest to tyle samo co w odpowiedziach. Gdzie zrobiłam błąd?

Pomnień podstawy stożka wynosi: \(\displaystyle{ r=\frac{a\sqrt{2}}{2}}\)
h - wysokość stożka
b - tworząca stożka

\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{h}{b}}\)
\(\displaystyle{ h=sin\alpha*b}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{r}{b}}\)
\(\displaystyle{ r=cos\alpha*b}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha*b=\frac{a\sqrt{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ 2b*cos\alpha=a\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ a=\frac{2b*cos\alpha}{\sqrt{2}}}\)

\(\displaystyle{ a=\frac{2cos\alpha}{\sqrt{2}}*\frac{h}{sin\alpha}}\)

\(\displaystyle{ a=\frac{2h*ctg\alpha}{\sqrt{2}}}\)

\(\displaystyle{ a=\frac{2h}{\sqrt{2}tg\alpha}}\)

\(\displaystyle{ a=\frac{2sin\alpha*b}{\sqrt{2}tg\alpha}}\)

\(\displaystyle{ V=\frac{8b^{3}sin^{3}\alpha}{(\sqrt{2}tg\alpha)^{3}}}\)
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Bryły obrotowe

Post autor: anna_ »

Błąd jest tutaj:
Yammi pisze: Pomnień podstawy stożka wynosi: \(\displaystyle{ r=\frac{a\sqrt{2}}{2}}\)
Wierzchołki sześcianu nie leżą na okręgu, który jest podstawą stożka. (leżą wewnątrz okręgu)

8.

h - wysokość stożka
b - tworząca stożka

\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{h}{b}}\)
\(\displaystyle{ h=b sin\alpha}\)

\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{r}{b}}\)
\(\displaystyle{ r=b cos\alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{h}{r} = \frac{h-a}{ \frac{a \sqrt{2} }{2} }\\
\frac{ah \sqrt{2} }{2}=r(h-a)\\
ah \sqrt{2}=2rh-2ra\\
ah \sqrt{2}+2ra=2rh\\
a( \sqrt{2}h+2r)=2rh\\
a= \frac{2rh}{\sqrt{2}h+2r} \\
a= \frac{2b cos\alpha b sin\alpha}{\sqrt{2} b sin\alpha+2b cos\alpha}\\
a= \frac{2bsin\alpha}{ \sqrt{2} tg\alpha+2}}\)


6.
Obliczam \(\displaystyle{ l}\)
\(\displaystyle{ l^2=h^2+r^2\\
l^2=9^2+3^2\\
l^2=81+9\\
l^2=90\\
l=3\sqrt{10}}\)


Obliczam pole przekroju osiowego
\(\displaystyle{ P=\frac{2rh}{2}\\
P=rh\\
P=3\cdot9\\
P=27}\)


Obiczam \(\displaystyle{ R}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{abc}{4R}\\
27=\frac{6\cdot 3\sqrt{10} \cdot 3\sqrt{10}}{4R}\\
R=5}\)


Obliczam pole kuli
\(\displaystyle{ P_{k}=4\pi R^2\\
P_{k}=4 \pi \cdot 5^2\\
P_{k}=100\pi}\)


7.

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/c823a1c9436/

Z podobieństwa trójkątów OBC i EBF
\(\displaystyle{ \frac{H}{R} = \frac{h}{R-r}\\
\frac{12}{9} = \frac{h}{9-r}}\)

Z pola walca
\(\displaystyle{ P=2\pi rh\\
\2\pi rh=48\pi\\
rh=24}\)


\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{12}{9} = \frac{h}{9-r} \\ rh=24 \end{cases}}\)
Ostatnio zmieniony 21 paź 2011, o 19:14 przez anna_, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
Yammi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 26 maja 2009, o 17:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 1 raz

Bryły obrotowe

Post autor: Yammi »

Tak i dzięki wielkie za 8
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Bryły obrotowe

Post autor: anna_ »

Dopisałam rozwiązanie 6 i 7
Zadanie 1
prev_topic/60844.htm
Zadanie 5 jest na PW
Awatar użytkownika
Yammi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 26 maja 2009, o 17:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 1 raz

Bryły obrotowe

Post autor: Yammi »

W zad. drugim obliczyłam objętość kuli opisanej na tym ostrosłupie:
\(\displaystyle{ R= \frac{a \sqrt{2}}{2}}\)
\(\displaystyle{ R=4\sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{4}{3}\pi*(4\sqrt{2})^{3}= \frac{512 \sqrt{2}}{3}\pi}\)

A jak obliczyć pole powierzchni kuli wpisanej w ten ostrosłup??
Awatar użytkownika
Justka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1680
Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 579 razy

Bryły obrotowe

Post autor: Justka »

3.
AU
AU
s6kifm.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 158 razy
2/3 wysokości podstawy to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\cdot \frac{4\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\)
Z rys.
\(\displaystyle{ \begin{cases} R+x=\sqrt{3^2-(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2} \\ x^2+(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2=R^2 \end{cases} \Rightarrow x=\frac{\sqrt{33}}{3}-R \\ (\frac{\sqrt{33}}{3}-R )^2+\frac{16}{3}=R^2 \end{cases} \\
R^2-\frac{2\sqrt{33}}{3}R+\frac{33}{9}+\frac{16}{3}=R^2 \\
R=\frac{9\sqrt{33}}{22}}\)
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Bryły obrotowe

Post autor: anna_ »

4.

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/3fb47a4d2a4/


Obliczam wysokość podstawy
\(\displaystyle{ |AD|= \frac{a \sqrt{3} }{2} \\
|AD|= \frac{6 \sqrt{3} }{2}\\
|AD|=3 \sqrt{3}}\)


Obliczam \(\displaystyle{ |OD|}\)
\(\displaystyle{ |OD|= \frac{1}{3}|AD|\\
|OD|= \frac{1}{3} \cdot 3 \sqrt{3} \\
|OD|= \sqrt{3}}\)


Obliczam wysokość walca
Z podobieństwa trójkątów GES i ODS
\(\displaystyle{ \frac{|SG|}{|GE|} = \frac{|SO|}{|OD|}\\
\frac{4-h}{1} = \frac{4}{ \sqrt{3} }\\
h= 4 - \frac{4 \sqrt{3} }{3} \\
h= \frac{4(3- \sqrt{3}) }{3}}\)

\(\displaystyle{ }\)


Możesz mi powiedzieć skąd wzięłaś ten wzór?
Yammi pisze: \(\displaystyle{ R= \frac{a \sqrt{2}}{2}}\)
Ostatnio zmieniony 21 paź 2011, o 19:41 przez anna_, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Yammi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 34
Rejestracja: 26 maja 2009, o 17:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Nowy Sącz
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 1 raz

Bryły obrotowe

Post autor: Yammi »

Po dłuższej analizie stwierdziłam, że jednak to nie będzie tak. Bo w końcu to ostrosłup i teraz to już nie wiem jak to zrobić. Ten wzór to połowa przekątnej kwadratu. A zasugerowałam się tym że wyszło mi tyle ile w odpowiedziach.
anna_
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16323
Rejestracja: 26 lis 2008, o 20:14
Płeć: Kobieta
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 3245 razy

Bryły obrotowe

Post autor: anna_ »

2.


(pierwszy rysunek)
Obliczam \(\displaystyle{ |AC|}\)
\(\displaystyle{ |AC|=a \sqrt{2}\\
|AC|=8 \sqrt{2}}\)


Obliczam \(\displaystyle{ SE|}\)
\(\displaystyle{ SE|^2=|AS|^2-(| \frac{1}{2}AC |)^2\\
|SE|^2=8^2-(4 \sqrt{2} )^2\\
|SE|^2=64-32\\
|SE|=4 \sqrt{2}}\)


Obliczam \(\displaystyle{ P_{ACS}}\)
\(\displaystyle{ P_{ACS}= \frac{|AC||SE|}{2}\\
P_{ACS}= \frac{8 \sqrt{2} \cdot 4 \sqrt{2}}{2}\\
P_{ACS}=32}\)


Obliczam \(\displaystyle{ R}\)
\(\displaystyle{ P_{ACS}= \frac{|AC||CS||AS|}{4R}\\
32= \frac{8 \sqrt{2} \cdot 8 \cdot 8}{4R}\\
R=4 \sqrt{2}}\)


Obliczam \(\displaystyle{ V_{K}}\)
\(\displaystyle{ V_{K}= \frac{4}{3}\pi R^3\\
V_{K}= \frac{4}{3}\pi \cdot (4 \sqrt{2})^3\\
V_{K}= \frac{512 \sqrt{2} }{3}\pi}\)


(drugi rysunek)
Obliczam \(\displaystyle{ P_{FGS}}\)
\(\displaystyle{ P_{FGS}= \frac{|FG||SE|}{2}\\
P_{FGS}= \frac{8 \cdot 4 \sqrt{2}}{2} \\
P_{FGS}=16 \sqrt{2}}\)


Obliczam \(\displaystyle{ |SG|}\)
\(\displaystyle{ |SG|= \frac{a \sqrt{3} }{2} \\
|SG|= \frac{8 \sqrt{3} }{2} \\
|SG|=4 \sqrt{3}}\)


Obliczam \(\displaystyle{ Ob_{FGS}}\)
\(\displaystyle{ Ob_{FGS}=|FG|+2|SG|\\
Ob_{FGS}=8+2 \cdot 4 \sqrt{3}\\
Ob_{FGS}=8(1+ \sqrt{3})}\)


Obliczam \(\displaystyle{ r}\)
\(\displaystyle{ P_{FGS}= \frac{1}{2} Ob_{FGS} \cdot r\\
16 \sqrt{2}= \frac{1}{2} \cdot 8(1+ \sqrt{3}) \cdot r\\
r=2( \sqrt{6}- \sqrt{2})}\)


Obliczam \(\displaystyle{ P_{k}}\)
\(\displaystyle{ P_{k}=4\pi r^2\\
P_{k}=4\pi (2( \sqrt{6}- \sqrt{2}))^2\\
P_{k}=64(2- \sqrt{3})}\)
ODPOWIEDZ