Ostrosłup, wszystkie kawędzie boczne tworzą taki sam kąt

[Nixur]

Podstawą ostrosłupa jest równoramienny trójkąt prostokątny o przeciwprostokatnej długości a. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa tworzą z podstawą kąt o mierze \(\displaystyle{ \alpha}\) Oblicz obiętość osrosłupa.

[anna_]

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/4cd2c140f63/

\(\displaystyle{ |AC|=|CB|}\)

Jeśli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równe (lub jeśli wszystkie krawędzie boczne tworzą z płaszczyzną podstawy równe kąty), to na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg, a środkiem tego okręgu jest spodek wysokości ostrosłupa.

Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środkiem przeciwprostokątnej.

Obliczam \(\displaystyle{ |AC|}\)
\(\displaystyle{ |AC|^2+|CB|^2=|AB|^2\\
2|AC|^2=a^2\\
|AC|^2= \frac{a^2}{2}\\
|AC|= \frac{a \sqrt{2} }{2}}\)

Obliczam \(\displaystyle{ P_{p}}\)
\(\displaystyle{ P_{p}= \frac{|AC|^2}{2}\\
P_{p}= \frac{(\frac{a \sqrt{2} }{2} )^2}{2}\\
P_{p} = \frac{a^2}{4}}\)

Obliczam \(\displaystyle{ |SO|}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha= \frac{|SO|}{ |\frac{1}{2} AB|} \\
tg\alpha= \frac{|SO|}{ \frac{1}{2} a}\\
|SO|= \frac{a tg\alpha}{2}}\)

Obliczam \(\displaystyle{ V}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}P_{p} h\\
V= \frac{1}{3}\cdot \frac{a^2}{4} \cdot \frac{a tg\alpha}{2} \\
V= \frac{a^3 tg\alpha}{24}}\)