Ostrosłup

[jayson]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość ma długość H, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę α . Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Z góry dzięki za pomoc

[florek177]

Oznaczenia: podstawa - A,B,C,D - kierunek lewoskrętny. O - środek podstawy; F - wierzchołek; \(\displaystyle{ a}\) - długość podstawy; \(\displaystyle{ l}\) - długość krawędzi.
z końców przekątnej podstawy BD prowadzimy wysokości na krawędź CF; kąt BED jest danym kątem \(\displaystyle{ \alpha}\).
\(\displaystyle{ |OB|=|OC| = \frac{\sqrt{2} }{2 }{\cdot}a}\); \(\displaystyle{ |BE|=k}\); \(\displaystyle{ |CE|=x}\).
Układamy równania:
1. \(\displaystyle{ H^{2}+\frac{a^{2} }{2 }=l^{2}}\)
2. \(\displaystyle{ k^{2}+x^{2}=a^{2}}\)
3. \(\displaystyle{ k^{2}+(l-x)^{2} =l^{2}}\)
4. \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}{\cdot}a }{2{\cdot}k }=sin(\frac{\alpha}{2})}\).
Cierpliwie rozwiązujemy układ równań i trud zostanie nagrodzony poszukaniem długości podstawy:

\(\displaystyle{ a=\frac{\sqrt{2}{\cdot}H } {sin^{2}(\frac{\alpha}{2})-1 } {\cdot}\sqrt{(1-{sin^{2}(\frac{\alpha}{2} )) }{\cdot}(2{\cdot}{sin^{2}(\frac{\alpha}{2})-1 )}}\);
z warunku na kąt mamy, że: \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2 }}\)

[ozon]

Oznaczenia
H-wysokości ostrpsłupa
zielony kąta -alfa
a-krawedz podstawy
d-przekątna podstawy
L-krwaędz sciany bocznej
w-wysokosc sciany boczenej
x i y odcinki krawedzi bocznej po podziale przez wysokosc sciany boczenj
i teeraz tworzymi gigantyczny układ równań posługując sie pitagorasem:
\(\displaystyle{ \large\left{\begin{array}{l}2a^{2}=d^{2}\\ w^{2}=x^{2}+a^{2}\\ l^{2}=w^{2}+y^{2}\\ l=x+y\\l^{2}=H^{2}+(\frac{d}{2})^{2}\\\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{d}{w}\end{array}\right.}\)

i z tego pewnie coś wyjdzie, narazie nie mam czasu na obliczenia, możesz sprobowac sam podstawić, jak wróce to skoncze. narqa