Bryły obrotowe wpisane i opisane na innych bryłach.

[Yammi]

Oto kilka zadań z którymi nie mogę sobie poradzić. Proszę o pomoc.

zad. 1. ZROBIONE
Kula wpisana w czworościan foremny ma objętość równą \(\displaystyle{ 36\pi}\) Oblicz pole powierzchni całkowitej tego czworościanu.
Odp.: \(\displaystyle{ 216\sqrt{3}}\)

zad. 2. ZROBIONE
Na stożku, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym opisano kulę. Oblicz objętość tej kuli, wiedząc, że pole powierzchni bocznej stożka jest równe \(\displaystyle{ 18\pi}\)
Odp.: \(\displaystyle{ 32\sqrt{3}\pi}\)

zad. 3.
Oblicz objętość walca o wysokości długości 6, wpisanego w kulę o promieniu długości 6.
Odp.: \(\displaystyle{ 162\pi}\)

zad. 4. ZROBIONE
Graniastosłup czworokątny prawidłowy o przekątnej długości 6 wpisany jest w walec o promieniu podstawy długości 2 w ten sposób, że brzegi podstaw walca są okręgami opisanymi na podstawach graniastosłupa. Oblicz pole powierzchni bocznej graniastosłupa.
Odp.: \(\displaystyle{ 16\sqrt{10}}\)

zad. 5.
Kula o promieniu długości 4 wpisana jest w graniastosłup prawidłowy trójkątny. Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Odp.: \(\displaystyle{ 288\sqrt{3}}\)

[agulka1987]

1.

\(\displaystyle{ V_{k} = \frac{4}{3}\pi \cdot r^3}\)

\(\displaystyle{ 36\pi = \frac{4}{3}\pi \cdot r^3}\)

\(\displaystyle{ r^3=27}\)

\(\displaystyle{ r=3}\)


\(\displaystyle{ r= \frac{a \sqrt{6} }{12}}\)

\(\displaystyle{ 3=\frac{a \sqrt{6} }{12}}\)

\(\displaystyle{ a=3 \cdot \frac{12}{ \sqrt{6} } = \frac{36}{ \sqrt{6} } = 6 \sqrt{6}}\)


\(\displaystyle{ P_{c} = a^2 \sqrt{3} = (6 \sqrt{6} )^2 \sqrt{3} = 216 \sqrt{3}}\)

[Yammi]

A moge wiedzieć dlaczego: \(\displaystyle{ r= \frac{a \sqrt{6} }{12}}\) ??

[agulka1987]

4.

\(\displaystyle{ r= \frac{a \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ 2= \frac{a \sqrt{2} }{2}}\)

\(\displaystyle{ a=2 \sqrt{2}}\)


\(\displaystyle{ d= \sqrt{2a^2+h^2}}\)

\(\displaystyle{ 6 = \sqrt{2 \cdot (2 \sqrt{2})^2+h^2}}\)

\(\displaystyle{ 6 = \sqrt{16+h^2}}\)

\(\displaystyle{ 36=16+h^2}\)

\(\displaystyle{ h^2=20 \Rightarrow h=2 \sqrt{5}}\)


\(\displaystyle{ P_{b} = 4a \cdot h = 4 \cdot 2 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{5} = 16 \sqrt{10}}\)-- 9 czerwca 2009, 16:56 --

A moge wiedzieć dlaczego: \(\displaystyle{ r= \frac{a \sqrt{6} }{12}}\) ??

gotowy wzór z tablic

[Yammi]

A ma ktoś pomysł na 3 i 5??
Wystarczy, że ktoś mnie naprowadzi nawet nie potrzebuje całego rozwiązanego, tyle to już potrafię

[piasek101]

5. Wysokość graniastosłupa to średnica kuli; jej promień to trzecia część wysokości podstawy.

3. Poszukaj trójkąta prostokątnego : 3; 6; r (promień walca).