Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych zadań:
1) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna o długości 6cm tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
2) Ostrosłup o polu podstawy 30cm2 i wysokości 10cm przecięto na dwie części płaszczyzną równoległą do podstawy ostrosłupa i przechodzącą przez środek jego wysokości. Oblicz objętość obydwu części ostrosłupa.
3) Sześcian o krawędzi a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez trzy jego wierzchołki i nie zawierającą żadnej jego krawędzi. Oblicz stosunek objętości otrzymanych części, na jakie ta płaszczyzna podzieliła sześcian.
4)Podstawą ostrosłupa jest prostokąt o polu 160cm2. Stosunek długości boków jest równy 2:5 . Oblicz objętość tego ostrosłupa, wiedząc , że każda krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60.
Z góry dzięki za pomoc ;]
Ostrosłupy i graniastosłupy - objętość
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
Ostrosłupy i graniastosłupy - objętość
1.
krawedż boczna \(\displaystyle{ b}\), połowa przekatnej podstawy \(\displaystyle{ d}\) oraz wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\) tworza trójkat prostokatny. Ponieważ krawędż boczna jest nachylona pod katem \(\displaystyle{ 60^o}\) to trójkat ten jest połowa trójkata równobocznego wytyczonego przez przekatna podstawy i dwie przeciwległe krawedzie boczne czyli \(\displaystyle{ b=d=6}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{b \sqrt{3} }{2} = 3 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{d \sqrt{2} }{2} = 3 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}a^2 \cdot H = \frac{1}{3} \cdot ( 3 \sqrt{2})^2 \cdot 3 \sqrt{3} = 18 \sqrt{3}}\)
4.
\(\displaystyle{ P=ab}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{2}{5} \Rightarrow a= \frac{2}{5}b}\)
\(\displaystyle{ 160= \frac{2}{5}b^2 \Rightarrow b=20 \Rightarrow a=20 \cdot \frac{2}{5} = 8}\)
przekatna podstawy oraz dwie przeciwległe krawedzie boczne tworza trójkat równoboczny więc wysokość mozemy obliczyć ze wzoru na wysokośc w tym trójkacie tylko musimy najpierw znaleźć długośc przekatne podstawy
\(\displaystyle{ d= \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{464} = 4 \sqrt{29}}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{d \sqrt{3} }{2} = 2 \sqrt{87}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}a \cdot b \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 20 \cdot 2 \sqrt{87} = \frac{320 \sqrt{87} }{3}}\)
krawedż boczna \(\displaystyle{ b}\), połowa przekatnej podstawy \(\displaystyle{ d}\) oraz wysokość ostrosłupa \(\displaystyle{ H}\) tworza trójkat prostokatny. Ponieważ krawędż boczna jest nachylona pod katem \(\displaystyle{ 60^o}\) to trójkat ten jest połowa trójkata równobocznego wytyczonego przez przekatna podstawy i dwie przeciwległe krawedzie boczne czyli \(\displaystyle{ b=d=6}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{b \sqrt{3} }{2} = 3 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{d \sqrt{2} }{2} = 3 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}a^2 \cdot H = \frac{1}{3} \cdot ( 3 \sqrt{2})^2 \cdot 3 \sqrt{3} = 18 \sqrt{3}}\)
4.
\(\displaystyle{ P=ab}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}= \frac{2}{5} \Rightarrow a= \frac{2}{5}b}\)
\(\displaystyle{ 160= \frac{2}{5}b^2 \Rightarrow b=20 \Rightarrow a=20 \cdot \frac{2}{5} = 8}\)
przekatna podstawy oraz dwie przeciwległe krawedzie boczne tworza trójkat równoboczny więc wysokość mozemy obliczyć ze wzoru na wysokośc w tym trójkacie tylko musimy najpierw znaleźć długośc przekatne podstawy
\(\displaystyle{ d= \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{464} = 4 \sqrt{29}}\)
\(\displaystyle{ H= \frac{d \sqrt{3} }{2} = 2 \sqrt{87}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}a \cdot b \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 20 \cdot 2 \sqrt{87} = \frac{320 \sqrt{87} }{3}}\)
Ostrosłupy i graniastosłupy - objętość
Dzięki za 1. i 4. ;]
Jeszcze dwa zadania. Mam nadzieję, że znajdzie się ktoś do pomocy ;P
Jeszcze dwa zadania. Mam nadzieję, że znajdzie się ktoś do pomocy ;P
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Ostrosłupy i graniastosłupy - objętość
zad2
V całego ostrosłupa = \(\displaystyle{ \frac{1}{3} P _{p} * H = \frac{1}{3} * 30 * 10 = 100 cm ^{3}}\)
Po przecięciu tą płaszczyzną wysokość małego ostrosłupa = \(\displaystyle{ H _{2} = \frac{1}{2} H = 5cm}\)
no i tak samo z krawędzią podstawy małego ostrosłupa - jest 2 razy mniejsza, niż krawędź podstawy całego ostrosłupa
Gdy jako \(\displaystyle{ a}\) oznaczymy długość krawędzi podstawy dużego ostrosłupa (przed przecięciem) , a jako \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a}\)- długośc krawędzi podstawy małego ostrosłupa,
to pole powierzchni małego ostrosłupa to \(\displaystyle{ (\frac{1}{2}a) ^{2} = \frac{1}{4}a ^{2}}\), czyli jest 4 razy mniejsze od pola podstawy dużego ostrosłupa.
Czyli ma \(\displaystyle{ \frac{30}{4}cm ^{2}}\)
A więc objętość małego ostrosłupa to \(\displaystyle{ \frac{30}{4} * 5 = \frac{150}{4} = 37,5cm ^{3}}\)
a objętość tej dolnej, pozostałej części to \(\displaystyle{ 100 - 37,5 = 62,5 cm ^{3}}\)
V całego ostrosłupa = \(\displaystyle{ \frac{1}{3} P _{p} * H = \frac{1}{3} * 30 * 10 = 100 cm ^{3}}\)
Po przecięciu tą płaszczyzną wysokość małego ostrosłupa = \(\displaystyle{ H _{2} = \frac{1}{2} H = 5cm}\)
no i tak samo z krawędzią podstawy małego ostrosłupa - jest 2 razy mniejsza, niż krawędź podstawy całego ostrosłupa
Gdy jako \(\displaystyle{ a}\) oznaczymy długość krawędzi podstawy dużego ostrosłupa (przed przecięciem) , a jako \(\displaystyle{ \frac{1}{2}a}\)- długośc krawędzi podstawy małego ostrosłupa,
to pole powierzchni małego ostrosłupa to \(\displaystyle{ (\frac{1}{2}a) ^{2} = \frac{1}{4}a ^{2}}\), czyli jest 4 razy mniejsze od pola podstawy dużego ostrosłupa.
Czyli ma \(\displaystyle{ \frac{30}{4}cm ^{2}}\)
A więc objętość małego ostrosłupa to \(\displaystyle{ \frac{30}{4} * 5 = \frac{150}{4} = 37,5cm ^{3}}\)
a objętość tej dolnej, pozostałej części to \(\displaystyle{ 100 - 37,5 = 62,5 cm ^{3}}\)
