Stożek0kieliszek...

[marekz]

Zad/. Z napelnionego kieliszka w ksztalcie stozka odlano polowe zawartosci.Do jakiej wysokosci siega plyn,ktory pozostal w kieliszku?

Kieliszek : R=8cm , H=9cm

Prosze o szybka pomoc.Z gory dzieki.

[polan123]

Obliczasz objetosc.

V=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)*9*64\(\displaystyle{ \Pi}\)
V=192\(\displaystyle{ \Pi}\)

Obliczasz polowe objetosci.

V=96\(\displaystyle{ \Pi}\)

Podstawiasz do wzoru na objetosc: polowe objetosci oraz promien okregu. Obliczasz H.

96\(\displaystyle{ \Pi}\)=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)*64\(\displaystyle{ \Pi}\)*H

Wierze, ze dalej sobie poradzisz

[marekz]

No cos tu mi nie wychodzi - nie sadze, aby to bylo az tak proste. >>Powinno wyjsc ok.7,1 cm.. :] Jakies inne pomysly?

[ Dodano: Wto Mar 14, 2006 11:04 pm ]
Hehe...No bedzie raczej u dolu

[polan123]

Biorac pod uwage polowe objetosci zapomnialem, ze od tej chwili mamy do czynienia ze scietym stozkiem a nie stozkiem. Ide kombinowac dalej.

Sciety stozek:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\Pi*h(R^{2}+Rr+r^{2})}\)

V=96\(\displaystyle{ \Pi}\)
R=8
r=?
h=?

Maly stozek:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}*\Pi*r^{2}*(H-h)}\)
V=96\(\displaystyle{ \Pi}\)
r=?
H-h=9-h=?

Moze uklad rownan?

\(\displaystyle{ 96\Pi=\frac{1}{3}*\Pi*h(64+8r+r^{2})}\)
\(\displaystyle{ 96\Pi=\frac{1}{3}*\Pi*r^{2}(9-h)}\)

[florek177]

\(\displaystyle{ 96=\frac{1}{3}{\cdot}r^{2}{\cdot}h}\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{r}=\frac{9}{8}}\)

[marekz]

@Florek177 w pierwszym rownaniu zapomniales chyba o :\(\displaystyle{ \Pi}\)

[florek177]

Pi występuje po obu stronach, to tak jakby go nie było.

[W_Zygmunt]

Objętość pozostałego płynu
\(\displaystyle{ V_{2}\,=\, \frac{1}{2} V_{1}}\)
Ale te stożki są podobne, zatem
\(\displaystyle{ V_{2}\,=\, k^{3} V_{1}}\)
czyli
\(\displaystyle{ k^{3}\,=\,\frac{1}{2}}\)
stąd
\(\displaystyle{ k\,=\,{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}}\)
W rezultacie
\(\displaystyle{ r_{2} \,=\,{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}} r_{1}}\)
\(\displaystyle{ h_{2} \,=\,{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}} h_{1}}\)

[lukasza310]

Czy mógłby ktoś podać rozwiązanie tego zadania krok po kroku, przypominam ze wynik wynosi ok.7,1

[W_Zygmunt]

Rozwiązanie, które podałem jest jak najbardziej krok po kroku.
Tyle że korzysta z własności podobieństwa brył. A wynik
\(\displaystyle{ h_{2}\,=\,{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}\cdot 9\,=\, 0.7937005260\cdot 9\,=\, 7.143304730}\)
też się zgadza.


Ale jeśli Ci chodzi o tradycyjne rozwiązanie :


\(\displaystyle{ V_{2}\,=\,\frac{1}{2}\cdot V_{1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}\cdot \pi\cdot r_{2}^{2}\cdot h_{2}\,=\,\frac{1}{2} \frac{1}{3}\cdot \pi r_{1}^{2}\cdot h_{1}}\)
\(\displaystyle{ r_{2}^{2}\cdot h_{2}\,=\,\frac{1}{2} r_{1}^{2}\cdot h_{1}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ r_{2} }{ h_{2} }\,=\, \frac{ r_{1} }{ h_{1} }}\)
\(\displaystyle{ r_{2}\,=\,\frac{ r_{1} }{ h_{1} } h_{2}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{ r_{1} }{ h_{1} } h_{2})^{2}\cdot h_{2}\,=\,\frac{1}{2} r_{1}^{2}\cdot h_{1}}\)
\(\displaystyle{ h_{2}^{3}\,=\,\frac{1}{2}\cdot h_{1}^{3}}\)
\(\displaystyle{ h_{2}\,=\,{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}}\cdot h_{1}}\)