Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego tworzy z podstawą kat 60 stopni. ?Oblicz sinus kąta, jaki z podstawą tego ostrosłupa tworzy jego krawędź boczna.
z góry dziekuję.
zad ostrosłup
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
zad ostrosłup
jak krawędź podstawy oznaczymy jako "a"
to wysokość ściany bocznej ma też długość "a" bo tworzy się trójkąt równoboczny o bokach: krawędź podstawy-wysokość ściany bocznej-wysokość ściany bocznej.
potrzebna jest długość krawędzi bocznej:
Liczysz ją z trójkąta równoramiennego, który jest ścianą boczną ostrosłupa. Wiesz, że długość podstawy jest równa długości wysokości ściany bocznej. Wysokość ta pada pod kątem prostym na środek krawędzi podstawy. Tworzą się 2 trójkaty prostokątne o przyprostokątnych: 1/2 krawędzi podstawy, wysokość ściany bocznej i przeciwprostokątnej: krawędź boczna "b"
inaczej: 1/2a , a , b
Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}a )^{2} + a ^{2} = b ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}a ^{2} + a ^{2} = b ^{2}}\)
\(\displaystyle{ b ^{2} = \frac{5}{4}a ^{2}}\)
\(\displaystyle{ b = \frac{ \sqrt{5} }{2}a}\)
no to sinus to będzie \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ sin = \frac{a}{\frac{ \sqrt{5} }{2}a}}\)
\(\displaystyle{ sin = \frac{2}{ \sqrt{5} } = \frac{2 \sqrt{5} }{5}}\)
Myślę, że skapujesz się, o co chodzi bez rysunku. Przeczytaj treść zadania dokładnie, a zrozumiesz.
to wysokość ściany bocznej ma też długość "a" bo tworzy się trójkąt równoboczny o bokach: krawędź podstawy-wysokość ściany bocznej-wysokość ściany bocznej.
potrzebna jest długość krawędzi bocznej:
Liczysz ją z trójkąta równoramiennego, który jest ścianą boczną ostrosłupa. Wiesz, że długość podstawy jest równa długości wysokości ściany bocznej. Wysokość ta pada pod kątem prostym na środek krawędzi podstawy. Tworzą się 2 trójkaty prostokątne o przyprostokątnych: 1/2 krawędzi podstawy, wysokość ściany bocznej i przeciwprostokątnej: krawędź boczna "b"
inaczej: 1/2a , a , b
Z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (\frac{1}{2}a )^{2} + a ^{2} = b ^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{4}a ^{2} + a ^{2} = b ^{2}}\)
\(\displaystyle{ b ^{2} = \frac{5}{4}a ^{2}}\)
\(\displaystyle{ b = \frac{ \sqrt{5} }{2}a}\)
no to sinus to będzie \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ sin = \frac{a}{\frac{ \sqrt{5} }{2}a}}\)
\(\displaystyle{ sin = \frac{2}{ \sqrt{5} } = \frac{2 \sqrt{5} }{5}}\)
Myślę, że skapujesz się, o co chodzi bez rysunku. Przeczytaj treść zadania dokładnie, a zrozumiesz.
-
Psycho
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 23 gru 2008, o 09:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Przemyśl/Kraków
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 68 razy
zad ostrosłup
Niech kwadrat w podstawie ma długość a, krawędź ostrosłupa b, wysokość ostrosłupa H, szukany sinus kąta \(\displaystyle{ sin \alpha}\), zaś wysokość ściany bocznej długość h. Wysokość ostrosłupa, wysokość ściany bocznej i odcinek łączący wysokość ostrosłupa z wysokością ściany bocznej ( ma on długość połowy boku kwadratu) tworzą charakterystyczny trójkąt prostokątny o kątach 30,60,90 stopni. Stąd \(\displaystyle{ h= 2 \cdot ( \frac{1}{2} a) = a}\) oraz \(\displaystyle{ H= \sqrt{3}( \frac{1}{2} a) = \frac{ \sqrt{3} }{2} a}\) . Z twierdzenia Pitagorasa, krawędź ściany bocznej ma długość \(\displaystyle{ b^{2} = h^{2} + ( \frac{1}{2} a )^{2} = a^{2} + \frac{1}{4} a^{2}= \frac{5}{4}a^{2} \Rightarrow b= \frac{ \sqrt{5} }{2} a}\)
Rozważmy teraz trókąt prostokątny składający się z wysokości ostrosłupa, krawędzi ściany bocznej, i odcinka łączącego krawędź z wysokością ( czyli połowę przekątnej kwadratu). Wtedy \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{H}{b} = \frac{\frac{ \sqrt{3} }{2} a}{\frac{ \sqrt{5} }{2} a} = \sqrt{ \frac{3}{5} }}\)
Mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem..
P.S.loitzl9006, ty chyba policzyłeś sinus kąta między krawędzią ostrosłupa, a krawędzią podstawy, a nie podstawą
Rozważmy teraz trókąt prostokątny składający się z wysokości ostrosłupa, krawędzi ściany bocznej, i odcinka łączącego krawędź z wysokością ( czyli połowę przekątnej kwadratu). Wtedy \(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{H}{b} = \frac{\frac{ \sqrt{3} }{2} a}{\frac{ \sqrt{5} }{2} a} = \sqrt{ \frac{3}{5} }}\)
Mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem..
P.S.loitzl9006, ty chyba policzyłeś sinus kąta między krawędzią ostrosłupa, a krawędzią podstawy, a nie podstawą
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
zad ostrosłup
No właśnie mylą mi się te pojęcia (podstawa, krawędź podstawy), możliwe, że właśnie to pomyliłem...
Wolałbym, żeby było napisane w poleceniu np. Oblicz sinus kąta, jaki z przekątną podstawy tego ostrosłupa tworzy jego krawędź boczna.
albo
Oblicz sinus kąta, jaki z krawędzią podstawy tego ostrosłupa tworzy jego krawędź boczna.
No a tak, to łatwo jest pomylić niestety, przynajmniej jak dla mnie.
Wolałbym, żeby było napisane w poleceniu np. Oblicz sinus kąta, jaki z przekątną podstawy tego ostrosłupa tworzy jego krawędź boczna.
albo
Oblicz sinus kąta, jaki z krawędzią podstawy tego ostrosłupa tworzy jego krawędź boczna.
No a tak, to łatwo jest pomylić niestety, przynajmniej jak dla mnie.