2 kule i graniastusłup czworokątny prawidłowy

[Szczupak]

Jakie najmniejsze wymiary musi mieć graniastosłup prawidłowy czworokątny, żeby zmieściły się w nim 2 kule o promieniach r1=2cm i r2=3cm?

[W_Zygmunt]

Odległość między środkami kul jest przekątną pewnego prostopadłościanu.
Długość tej przekątnej wyliczymy
\(\displaystyle{ (x - 5)^{2} + (x - 5)^{2} + (h - 5)^{2} \,=\, 5^{2}}\)
Stąd możemy wyliczyć h
\(\displaystyle{ h\,=\,\sqrt{ - 2\cdot x^{2} + 20\cdot x - 45} + 5}\)
lub
\(\displaystyle{ h\,=\, - \sqrt{ - 2\cdot x^{2} + 20\cdot x - 45} + 5}\).
Objętość graniastosłupa
\(\displaystyle{ V\,=\,x^{2}\cdot h}\)
Musimy podstawić . Badamy dziedzinę otrzymanych funkcji,
liczymy pochodną ( w obu przypadkach).
Znajdujemy miejsca zerowe i sprawdzamy gdzie jest maksimum.
Ekstrema są w punktach:
\(\displaystyle{ x\,=\,\frac{\sqrt{15}}{3} + 5}\)
\(\displaystyle{ x\,=\,5 - \frac{\sqrt{15}}{3}}\)