objętość ostrosłupa

[Ankaaa993]

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, którego pole powierzchni całkowitej jest równe 36 (1+\(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) . Ściany tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi.

[Natasha]

\(\displaystyle{ \frac{4 a^{2} \sqrt{3} }{4}+a ^{2} = 36(1+\sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ a^{2}(1+ \sqrt{3})= 36(1+\sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ a^{2}=36 \Rightarrow a=6}\)

następnie wysokość ostrosłupa z Pitagorasa

\(\displaystyle{ h ^{2} + (\frac{a \sqrt{2} }{2})^{2}=a^{2}}\)
\(\displaystyle{ h ^{2} + 18=36}\)

\(\displaystyle{ h ^{2}=18 \Rightarrow h=3 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}*36*3 \sqrt{2}}\)

[atimor]

Ze wzoru na pole trójkąta równobocznego i własności danego ostrosłupa łatwo dowieść, że jego krawędź ma długość 6. Z tw. Pitagorasa wysokość tego ostrosłupa: \(\displaystyle{ H=3 \sqrt{2}}\). Objętość wynosi zatem \(\displaystyle{ 12 \sqrt{2}}\)