stosunek objętości stożka do objętości walca
-
aneta12348
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 28 maja 2009, o 20:10
- Płeć: Kobieta
stosunek objętości stożka do objętości walca
Pole powierzchni całkowitej stożka, którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoboczny, jesat równe polu powierzchni całkowitej walca, którego przekrojem osiowym jest kwadrat. Oblicz stosunek objętości stożka do objętości walca.
-
agulka1987
- Użytkownik
- Posty: 3090
- Rejestracja: 24 paź 2008, o 15:23
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Opole
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 879 razy
stosunek objętości stożka do objętości walca
\(\displaystyle{ P_{s} = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot l}\)
ponieważ przekrojem osiowym jest trójkat równoboczny to \(\displaystyle{ l=2r}\)
\(\displaystyle{ P_{s} = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot 2r = \pi \cdot r^2 + 2 \pi \cdot r^2 = 3 \pi \cdot r^2}\)
\(\displaystyle{ P_{w} = 2\pi \cdot r \cdot h + 2\pi \cdot r^2}\)
przekrojem osiowym jest kwadrat to \(\displaystyle{ h=2r}\)
\(\displaystyle{ P_{w} = 2\pi \cdot r \cdot 2r + 2\pi \cdot r^2= 4\pi \cdot r^2 + 2\pi \cdot r^2 = 6\pi \cdot r^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{P_{s}}{P_{w}} = \frac{3 \pi \cdot r^2}{6 \pi \cdot r^2}= \frac{1}{2}}\)
ponieważ przekrojem osiowym jest trójkat równoboczny to \(\displaystyle{ l=2r}\)
\(\displaystyle{ P_{s} = \pi \cdot r^2 + \pi \cdot r \cdot 2r = \pi \cdot r^2 + 2 \pi \cdot r^2 = 3 \pi \cdot r^2}\)
\(\displaystyle{ P_{w} = 2\pi \cdot r \cdot h + 2\pi \cdot r^2}\)
przekrojem osiowym jest kwadrat to \(\displaystyle{ h=2r}\)
\(\displaystyle{ P_{w} = 2\pi \cdot r \cdot 2r + 2\pi \cdot r^2= 4\pi \cdot r^2 + 2\pi \cdot r^2 = 6\pi \cdot r^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{P_{s}}{P_{w}} = \frac{3 \pi \cdot r^2}{6 \pi \cdot r^2}= \frac{1}{2}}\)
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3050
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
stosunek objętości stożka do objętości walca
\(\displaystyle{ P _{stozka}= pi*r _{s} ^{2} + pi*r _{s} *l _{s}}\) = \(\displaystyle{ P _{walca} = 2pi*r _{w} ^{2} + 2*pi*r _{w} *H _{w}}\)
Zauważ, że w stożku \(\displaystyle{ 2r _{s} = l _{s}}\)
a w walcu \(\displaystyle{ 2r _{w} = H _{w}}\)
\(\displaystyle{ r _{s} ^{2} + r _{s} * 2r _{s}}\) = \(\displaystyle{ 2*r _{w} ^{2} + 2*r _{w} * 2r _{w}}\)
\(\displaystyle{ 3r _{s} ^{2}}\) = \(\displaystyle{ 2*r _{w} ^{2} + 4*r ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 3r _{s} ^{2}}\) = \(\displaystyle{ 6r _{w} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ r _{s} ^{2}}\) = \(\displaystyle{ 2r _{w} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ r _{s} = \sqrt{2r _{w} ^{2}}}\)
Pole podstawy stożka = \(\displaystyle{ pi * r _{s} ^{2} = pi * 2r _{w} ^{2}}\)
Pole podstawy walca: \(\displaystyle{ pi * r _{w} ^{2}}\)
Krótko mówiąc, pole podstawy stożka jest 2 razy większe od P podstawy walca.
czyli \(\displaystyle{ P _{pstozka} = 2P _{pwalca}}\)
Teraz coś o stożku: Wysokość stożka jest wysokością trójkąta równobocznego, który jest przekrojem osiowym.
\(\displaystyle{ h _{stozka} = 2r _{s} * \sqrt{3} \frac{2r _{s} * \sqrt{3}}{2} = r _{s}* \sqrt{3} = \sqrt{2r _{w} ^{2}}}\)
Wysokością walca wiadomo że jest\(\displaystyle{ h _{walca}}\) = \(\displaystyle{ 2r _{w}}\)
I teraz przedostatni etap: objętości:
V stożka = \(\displaystyle{ \frac{1}{3}P _{pstozka} * h _{stozka}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{3}*2P _{pwalca} * \sqrt{2r _{w} ^{2}}}\)
V walca = \(\displaystyle{ P _{walca} * h _{walca}}\) = \(\displaystyle{ P _{walca} * 2r _{w}}\)
teraz ostatni:
od razu mówię, że P walca się skracają.
\(\displaystyle{ \frac{V stożka}{V walca}}\) = \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}*2* \sqrt{2r _{w} ^{2}}}{2r _{w}}}\)
nie wiem, może wyłącz teraz pierwiastek, czyli \(\displaystyle{ \sqrt{2r _{w} ^{2}} = r _{w}* \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ r _{w}}\) się skróci i wyjdzie (przynajmniej mi wyszedł) wynik końcowy \(\displaystyle{ \frac{Vstozka}{Vkuli} = \frac{\sqrt{2} }{3}}\)
Ale to jest chyba przeze mnie mocno przekombinowane i mała szansa, że to jest dobrze ale przynajmniej \(\displaystyle{ \frac{P walca}{P stozka} = \frac{1}{2}}\) tak wyszło mi i mojemu przedmówcy, więc chyba to jest dobrze
Zauważ, że w stożku \(\displaystyle{ 2r _{s} = l _{s}}\)
a w walcu \(\displaystyle{ 2r _{w} = H _{w}}\)
\(\displaystyle{ r _{s} ^{2} + r _{s} * 2r _{s}}\) = \(\displaystyle{ 2*r _{w} ^{2} + 2*r _{w} * 2r _{w}}\)
\(\displaystyle{ 3r _{s} ^{2}}\) = \(\displaystyle{ 2*r _{w} ^{2} + 4*r ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 3r _{s} ^{2}}\) = \(\displaystyle{ 6r _{w} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ r _{s} ^{2}}\) = \(\displaystyle{ 2r _{w} ^{2}}\)
\(\displaystyle{ r _{s} = \sqrt{2r _{w} ^{2}}}\)
Pole podstawy stożka = \(\displaystyle{ pi * r _{s} ^{2} = pi * 2r _{w} ^{2}}\)
Pole podstawy walca: \(\displaystyle{ pi * r _{w} ^{2}}\)
Krótko mówiąc, pole podstawy stożka jest 2 razy większe od P podstawy walca.
czyli \(\displaystyle{ P _{pstozka} = 2P _{pwalca}}\)
Teraz coś o stożku: Wysokość stożka jest wysokością trójkąta równobocznego, który jest przekrojem osiowym.
\(\displaystyle{ h _{stozka} = 2r _{s} * \sqrt{3} \frac{2r _{s} * \sqrt{3}}{2} = r _{s}* \sqrt{3} = \sqrt{2r _{w} ^{2}}}\)
Wysokością walca wiadomo że jest\(\displaystyle{ h _{walca}}\) = \(\displaystyle{ 2r _{w}}\)
I teraz przedostatni etap: objętości:
V stożka = \(\displaystyle{ \frac{1}{3}P _{pstozka} * h _{stozka}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{3}*2P _{pwalca} * \sqrt{2r _{w} ^{2}}}\)
V walca = \(\displaystyle{ P _{walca} * h _{walca}}\) = \(\displaystyle{ P _{walca} * 2r _{w}}\)
teraz ostatni:
od razu mówię, że P walca się skracają.
\(\displaystyle{ \frac{V stożka}{V walca}}\) = \(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}*2* \sqrt{2r _{w} ^{2}}}{2r _{w}}}\)
nie wiem, może wyłącz teraz pierwiastek, czyli \(\displaystyle{ \sqrt{2r _{w} ^{2}} = r _{w}* \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ r _{w}}\) się skróci i wyjdzie (przynajmniej mi wyszedł) wynik końcowy \(\displaystyle{ \frac{Vstozka}{Vkuli} = \frac{\sqrt{2} }{3}}\)
Ale to jest chyba przeze mnie mocno przekombinowane i mała szansa, że to jest dobrze ale przynajmniej \(\displaystyle{ \frac{P walca}{P stozka} = \frac{1}{2}}\) tak wyszło mi i mojemu przedmówcy, więc chyba to jest dobrze