Stosunek H do R w walcu

[S_Olewniczak]

Pole powierzchni bocznej walca jest równe polu koła opisanego na przekroju osiowym tego walca. Znajdź zależność między wysokością H a promieniem R podstawy tej bryły.

Bardzo proszę o szczegółowe wytłumaczenie.
Pozdrawiam

[Adifek]

r- promień podstawy walca
H-wysokość walca
d-przekątna przekroju osiowego walca
P-pole koła opisanego na przekroju osiowym walca

\(\displaystyle{ d^{2}=H^{2}+4r^{2}}\)
\(\displaystyle{ P=\pi \cdot ( \frac{1}{2}d)^{2}=\pi \cdot \frac{1}{4}d^{2}=\pi \cdot \frac{1}{4}(H^{2}+4r^{2})}\)
Więc mamy równanie
\(\displaystyle{ 2\pi rH= \frac{\pi(H^{2}+4r^{2})}{4}}\)
I z tego wychodzi mi brzydko
\(\displaystyle{ 4r(2H-r)=H^{2}}\)

[anna_]

R- promień podstawy walca (zmień oznaczenia z r na R w tym co napisał Adifek)

\(\displaystyle{ 2\pi RH= \frac{\pi(H^{2}+4R^{2})}{4}\\
H^2-8RH+4R^2=0}\)

Równanie kwadratowe z prametrem R
\(\displaystyle{ \Delta=(-8R)^2-4 \cdot 4R^2\\
\Delta=64R^2-16R^2\\
\Delta=48R^2\\
\sqrt{\Delta}=4R \sqrt{3}\\
H_{1}= \frac{8R-4R \sqrt{3}}{2}= \frac{4R(2- \sqrt{3}) }{2}=2R(2- \sqrt{3})\\
H_{2}= \frac{8R+4R \sqrt{3}}{2}= \frac{4R(2+ \sqrt{3}) }{2}=2R(2+ \sqrt{3})}\)

Stosunek już łatwo da się wyznaczyć.

[Adifek]

Nie wpadłem an to, by dokończyć moje rozwiązanie jako równanie kwadratowe z parametrem - bardzo mądre i ciesze się, że to dodałaś