ostrosłup trójkątny

[Mapedd]

Dany jest ostrosłup trójkątny, przed punkt wewnetrzny P prowadzimy proste równoległe do wszytkich krawedzi, tzn, jesli oznaczymy wierzcholki jako ABCD to bierzemy punkt P i na postawe ABD rzutujemy P najpierw roznolegle do AD, Potem do BD a potem do CD, punkty wspolne prostych i podstawy ABC i punkt P tworza ostroslup, robimy tak kolejno ze wszytkimi scianami, otrzymane ostroslupy maja objetosci kolejno 1, 8 ,27,64, oblicz obj V ostroslupa ABCD

[W_Zygmunt]

Zauważmy, że wszystkie ostrosłupy są podobne.
Oznaczając objętości kolejnych ostrosłupów przez
\(\displaystyle{ V_{1}, \,\,V_{2},\,\,V_{3}, \,i\,V_{4}}\)
mamy
\(\displaystyle{ \frac{V_{2} }{ V_{1}}\,=\, 8}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_{3} }{ V_{1}}\,=\,27}\)
\(\displaystyle{ \frac{V_{4} }{V_{1} }\,=\,64}\)
Ponieważ stosunek objętości jest równy sześcianowi stosunku jednokładności,
odpowiednie boki tych ostrosłupów spełniają zależności
\(\displaystyle{ a_{2}\,=\, 2\cdot a_{1}}\)
\(\displaystyle{ a_{3}\,=\, 3\cdot a_{1}}\)
\(\displaystyle{ a_{4}\,=\, 4\cdot a_{1}}\)

Jak pokazuje rysunek, wszystkie cztery ostrosłupy wewnętrzne,
można poprzesuwać do jednej krawędzi dużego.
Suma kolejnych krawędzi wypełnia całą krawędź.
Zatem
\(\displaystyle{ a\,=\, a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}}\)
\(\displaystyle{ a\,=\, a_{1} + 2\cdot a_{1} + 3\cdot a_{1} + 4\cdot a_{1}}\)
\(\displaystyle{ a\,=\, 10\cdot a_{1}}\)
Czyli k = 10
\(\displaystyle{ V\,=\, 10^{3} V_{1}}\)
\(\displaystyle{ V\,=\, 1000\cdot V_{1}}\)

PS. Jeśli ktoś chciałby zobaczyć to bardziej plastycznie, proponuję ściągnąć program
Wielościany
a z katalogu
pobrać plik OSTR_5.B_R