Ostrosłup prawidłowy trojkątny

[Ssao]

Jak zrobić to zadanie? Oblicz pole powierzchni i objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego, w którym krawędź boczna o długości 12 jest nachylona do płaszyczyzny podstawy pod kątem 60 stopni.

Proszę o rozwiązanie zadania, bądź o wytłumaczenie co po kolei robić.

[lukasz1804]

Rozważ trójkąt prostokątny, w którym przeciwprostokątną jest krawędź boczna \(\displaystyle{ b=12}\), jedną z przyprostokątnych jest wysokość \(\displaystyle{ H}\) ostrosłupa, a drugą przyprostokątną jest odcinek zawarty w podstawie ostrosłupa o długości równej promieniowi okręgu opisanego na podstawie (tj. \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{3}}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest krawędzią podstawy ostrosłupa).
Z założenia mamy \(\displaystyle{ H=b\sin 60^{o}=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}}\) i podobnie \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{3}=b\cos 60^{o}=12\cdot\frac{1}{2}=6}\), skąd \(\displaystyle{ a=6\sqrt{3}}\).
Wysokość \(\displaystyle{ h}\) ściany bocznej można obliczyć w oparciu o twierdzenie Pitagorasa: \(\displaystyle{ h=\sqrt{b^2-(\frac{a}{2})^2}=\sqrt{144-27}=3\sqrt{13}}\).
Otrzymane wyniki wystarczy teraz podstawić do wzorów na pole powierzchni i objętość, które w przypadku danego ostrosłupa mają postać

\(\displaystyle{ P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}+3\frac{ah}{2}}\)

oraz

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H}\)

odpowiednio.