Ostrosłupy i walce

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
fidokado
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 5 cze 2008, o 19:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tomaszów Maz.
Podziękował: 13 razy

Ostrosłupy i walce

Post autor: fidokado »

Proszę o rozwiązanie kilku zadań z ostrosłupów

1) Z walca wycięto stożek, któregi promień podstawy jest przystający do promienia podstawy walca, a wysokość stożka jest przystająca do wysokości walca. Wiedząc, że objętość walca wynosiła 210 pi \(\displaystyle{ cm^{3}}\), oblicz objętość bryły pozostałej po wycięciu stożka.

2)Z walca wycięto stożek, którego długość średnicy podstawy jest równa długości średnicy walca, a wysokość stożka jest dwa razy krótsza od wysokości walca. Jaką część objętości walca stanowi objętość stożka?

3) Ciecz wypełniająca naczynie stożkowe o wysokości 4dm i średnicy podstawy 3dm przelano do naczynia walcowego, którego promień ma długość 10cm. Oblicz jaki bedzie poziom wody w drugim naczyniu.

4) Stos żwiru ma kształt stożka, którego promień podstawy ma długość 2m a tworząca 2,5. Jeden metr sześcienny żwiru waży trzy tony. Oblicz ile cieżarówek o ładowności 9 ton każda potrzeaba do przewiezeinia 10 takich stosów.

5) Stóg siana ma kształt walca o zakończeniu stożkowym. Promień podstawy stogu ma długość 2,5m, wysokość stogu 4m, a wysokość jego części cylindrycznej ma 2,2m długości. Zakładając, że na wozie można zmieścić 11\(\displaystyle{ m^{3}}\) siana, oblicz, ile wozów potrzeba do przewiezienia tego stogu.


Z góry dziękuje za pomoc
Pozdrawiam fidokado
seppuku
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 12 maja 2009, o 12:02
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 8 razy

Ostrosłupy i walce

Post autor: seppuku »

ad. 1.

Objętość walca:

\(\displaystyle{ V_{1}=\pi r^{2}h=210\pi cm^{3}}\)

Objętość stożka: (\(\displaystyle{ r}\) i \(\displaystyle{ h}\) takie same jak w walcu)

\(\displaystyle{ V_{2}= \frac{1}{3} \pi r^{2}h}\)

Łatwo zauważyć, że objętość stożka stanowi jedną trzecią objętości walca o takiej samej podstawie i wysokości, ergo:

\(\displaystyle{ V_{2}= \frac{1}{3}V_{1}=70\pi cm^{3}}\)

-- 19 maja 2009, o 19:49 --

ad. 2.

\(\displaystyle{ V_{1}=\pi r^{2}h}\)

\(\displaystyle{ V_{2}= \frac{1}{3} \pi \cdot ( \frac{1}{2} r)^{2} \cdot \frac{1}{2} h= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \pi r^{2}h = \frac{1}{24}\pi r^{2}h = \frac{1}{24}V_{1}}\)

-- 19 maja 2009, o 19:56 --

ad. 3.

\(\displaystyle{ V_{1}= \frac{1}{3} \pi \cdot (\frac{3}{2})^{2} \cdot 4= 3\pi}\)

\(\displaystyle{ V_{2}= \pi \cdot 1^{2} \cdot h=3\pi}\) - objętość pozostaje taka sama, z tego wynika:

\(\displaystyle{ h=3 dm}\)

-- 19 maja 2009, o 20:09 --

ad. 4.

\(\displaystyle{ h^{2}+2^{2}= (\frac{5}{2})^{2}}\) (z tw. Pitagorasa - tworząca stożka jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są promień i wysokość)

\(\displaystyle{ h^{2}=\frac{9}{4} \Rightarrow h= \frac{3}{2}}\)

Znając wysokość, obliczam objętość stożka:

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \pi r^{2}h= \frac{1}{3} \pi \cdot 4^{2} \cdot \frac{3}{2}=8\pi \approx 25,13 m^{3}}\)

\(\displaystyle{ 1 m^{3}}\) waży \(\displaystyle{ 3 t \Rightarrow 25,13 m^{3}}\) waży \(\displaystyle{ 25,13 \cdot 3 =75,39 t}\)

10 stosów ważyć więc będzie w sumie \(\displaystyle{ 753,9 t}\), zaś ładowność jednej ciężarówki to 9 ton. Ile ciężarówek potrzeba?

\(\displaystyle{ \frac{753,9}{9} = 83,7(6)}\)

Dokładnie 84 ciężarówki, a ostatnia będzie mieć trochę luzu. ;)-- 19 maja 2009, o 20:30 --ad. 5.

Obliczam objętość stogu, na którą składa się objętość walca o promieniu podstawy równym 2,5 i wysokości 2,2 oraz objętość części cylindrycznej o takim samym promieniu podstawy i wysokości równej 1,8 (4-2,2):

\(\displaystyle{ V=\pi( \frac{5}{2})^{2} \cdot 2,2 + \frac{1}{3}\pi( \frac{5}{2})^{2} \cdot 1,8= \frac{25}{4} \cdot \frac{22}{10} + \frac{1}{3} \cdot \frac{25}{4} \cdot \frac{18}{10} = 17,5m^{3}}\)

Jeden wóz mieści 11 metrów sześciennych siana, więc aby przewieźć cały stóg, potrzeba dwóch takich wozów.
ODPOWIEDZ