Kula opisana na ostrosłupie i graniastosłup sześciokątny

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Aneczka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 22 paź 2005, o 17:48
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin

Kula opisana na ostrosłupie i graniastosłup sześciokątny

Post autor: Aneczka »

Mam takie zadania i nie mogę sobie z nim poradzić. Bardzo prosze o pomoc.

Zad.1
Wysokość trójkątnego ostrosłupa prawidłowego ma długość h, a krawędzie boczne są do siebie prostopadłe. Wyznacz długość promienia kuli opisanej.

Zad.2
W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym najdłuższa przekątna podstawy ma długość d i tworzy z przekątną ściany bocznej wychodzącą z tego samego wierzchołka kąt o mierze α . Wyznacz objętośc graniastołupa.


Pozdrawiam
Anka
hubert632
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 68
Rejestracja: 6 maja 2008, o 19:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: wrocław

Kula opisana na ostrosłupie i graniastosłup sześciokątny

Post autor: hubert632 »

Ma ktoś pomysł na zadanie pierwsze?? Bardzo bym prosił...
Awatar użytkownika
pelas_91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 838
Rejestracja: 7 cze 2007, o 19:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 71 razy

Kula opisana na ostrosłupie i graniastosłup sześciokątny

Post autor: pelas_91 »

Zadanie 1. (troszkę okrężnie ale jednak jest)
Wprowadźmy oznaczenia:
Ostrosłup ABCS, spodek wysokości S1. Krawędź podstawy a, krawędź boczna b, wysokość H, wysokość ściany bocznej h, promień szukanej kuli R. Punkt A1 - środek krawędzi BC.
Zrób rysunek!

Ściany boczne to trójkąty równoramienne prostokątne -> \(\displaystyle{ b= \frac{a \sqrt{2} }{2}}\)
Kąt BCS ma 45* -> Trójkąt A1CS jest prostokątny i równoramienny -> \(\displaystyle{ h=0,5a}\)
A1S1 - to promień okręgu wpisanego w podstawę -> \(\displaystyle{ |A1S1|= \frac{a \sqrt{3} }{6}}\)
Z Tw. Pitagorasa (trójkąt A1S1S): \(\displaystyle{ H= \frac{a \sqrt{6} }{6}}\).

Powyższe dane będę wykorzystywał w dalszych rozważaniach:

Punkt S2 - środek kuli (leży na wysokości ostrosłupa -> za chwile się okaże, że jednak nie xD)
Rozważmy ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS2: krawędź podstawy a, krawędź boczna R, wysokość H-R.
AS1 - promień okręgu opisanego na podstawie -> \(\displaystyle{ |AS1|= \frac{a \sqrt{3} }{3}}\)
Z Tw. Pitagorasa (trójkąt AS1S2): \(\displaystyle{ R= \frac{a \sqrt{6} }{4}}\) pozostaje tylko zauważyć, że tym samym \(\displaystyle{ R= \frac{3}{2}H}\).

Wynik może zaskoczyć. Znaczy on tylko tyle że ostrosłup jest na tyle niski i siedzi w tej kuli "u góry", a środek kuli leży poza ostrosłupem na przedłużeniu wysokości. Natomiast wysokość drugiego ostrosłupa tak naprawdę ma R-H, co w Tw. Pitagorasa nie miało znaczenia (\(\displaystyle{ (H-R)^2=(R-H)^2}\))

W razie czego służę wyjaśnieniami skąd się coś wzięło.

PS. Wiem, że w zadaniu autor oznaczył wysokość bryły jako małe h, jednakże w praktyce jest to bezsensowne i niepraktyczne :]
ODPOWIEDZ