stożek wpisany w kulę

[xxxxx]

Jaką najwyżej część objętości kuli może stanowić objętość stożka wpisanego w tą kulę? Właściwie mam też pytanie czy przekrój osiowy tego stożka będzie trójkątem równobocznym? Jeśli nie to proszę przynajmniej o wykazanie związku między promieniami z wyjaśnieniem. Z góry dziękuję.

[piasek101]

Odp : \(\displaystyle{ \frac{8}{27}}\)

Rysunek - trójkąt równoramienny wpisany w okrąg.
\(\displaystyle{ r}\) - promień stożka
\(\displaystyle{ R}\)- promień kuli
\(\displaystyle{ R+x}\) - wysokość stożka (na rysunku (x) jest odcinkiem od środka okręgu pionowo w dół do środka podstawy trójkąta)
Objętość stożka to : \(\displaystyle{ V={1\over 3}\pi r^2(R+x)}\)
ale z twierdzenia Pitagorasa (w trójkącie x; r; R - taki ,,mały" na dole)
\(\displaystyle{ r^2=R^2-x^2}\) zatem

\(\displaystyle{ V(x)={1\over 3}\pi (R^2-x^2)(R+x)}\) (powymnażać)
I pozostaje :
- pochodna po x,
- przyrównać ją do zera,
- znaleźć x dla maksymalnej (\(\displaystyle{ x={1\over 3}R}\))
- wyznaczyć maksymalną objętość stożka (w zależności od R),
- wyznaczyć objętość kuli,
- podzielić objętość stożka przez objętość kuli.