obrót równoległoboku

[kluczyk]

Dany jest równoległobok o bokach \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 2+ \sqrt{3}}\) oraz kącie ostrym \(\displaystyle{ \frac{\pi}{12}}\) .Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej przez obrót równoległoboku wokół dłuższego boku.

[Martinsgall]

jak pewnie zauważyłeś powstała figura to będzie jakby walec z stożek na dole wyciętym i stożkiem u góry dodanym czyli objętościowo będzie to walec o H=\(\displaystyle{ 2+ \sqrt{3}}\) i r podstawy= wysokości tego równoległoboku, mając kąt i krótszy bok możesz ja obliczyć \(\displaystyle{ h=2 \cdot sin15^{o}}\).
czyli \(\displaystyle{ r=h=2 \cdot sin15^{o}}\)- promień podstawy walca
\(\displaystyle{ H=2+ \sqrt{3}}\) -wysokość walca
wystarczy ze podstawisz pod wzór na objętość i ci wyjdzie, wrazię gdyby coś było nie jasne pytaj

[RyHoO16]

Rysunku chyba nie muszę przedstawiać ( walec oraz stożki)

Oznaczenia:
\(\displaystyle{ H=a+h}\) - wysokość walca
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość stożków
\(\displaystyle{ r}\) - promień walca/stożka
\(\displaystyle{ a,b}\) boki równoległoboku
\(\displaystyle{ a>b}\)

\(\displaystyle{ \frac{r}{2}= \sin 15^{\circ} \iff r= 2 \sin 15^{\circ}}\)

\(\displaystyle{ \frac{h}{r}= \ctg 15^{\circ} \iff h= 2 \ctg15^{\circ}\sin 15^{\circ}}\)

Podstawiamy do wzorów.
Mi wyszło:

\(\displaystyle{ V= \pi}\) oraz \(\displaystyle{ P=4 \pi \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}}\)

[Lord_W]

Mam takie pytanie.
W zadaniu wychodzą następujące dane:
\(\displaystyle{ H = 2 + \sqrt{3} \\ r = \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{2} \\ l = 2}\)

Chodzi mi o same obliczenia pola pow. całkowitej.
\(\displaystyle{ P _{c}=P _{boczne walca} + 2 P _{boczne stozka}}\)
\(\displaystyle{ P _{c}=2\pi rH + 2\pi rl}\)

I można wyłączyć \(\displaystyle{ 2\pi r}\) przed nawias wtedy wyjdzie \(\displaystyle{ \pi (3 \sqrt{6} - \sqrt{2})}\) - poprawny wynik

Ale mnie zastanawia, dlaczego wychodzi inny wynik w chwili, kiedy nie wyłączam wspólnych czynników przed nawias:
\(\displaystyle{ 2\pi *\frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{2} *( 2 + \sqrt{3}) + 2\pi *\frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{2} *2 = \\ = \pi (2 \sqrt{6}+ 3 \sqrt{2}-2 \sqrt{2}- \sqrt{6}) + 2\pi ( \sqrt{6}- \sqrt{2}) = 3\pi( \sqrt{6}- \sqrt{2})}\)