V ostrosłupa, dane: pole ściany bocznej, kąt przy podstawie

[adacho90]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym pole powierzchni jednej ściany bocznej równa się \(\displaystyle{ S}\). Kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa równa się \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.


liczyłem to przedstawiając wysokość ostrosłupa raz za pomocą wysokości ściany bocznej, raz za pomocą ściany bocznej (2x twierdzenie Pitagorasa). Długo mi to wyszło i nie wiem czy dobrze, byłbym wdzięczny gdyby mi ktoś powiedział jak to można szybciej zrobić.

[florek177]

Ściana boczna: \(\displaystyle{ \,\,\, a \, h = 2 \, S \,\,\,}\) ; oraz \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{a}{2 \, h} = tg(\alpha) \,\,\,}\) --> \(\displaystyle{ a = 2 \, \sqrt{S \, tg(\alpha)} \,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ \,\,\, h = \sqrt{\frac{S}{tg(\alpha)}} \,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ H^{2} = h^{2} - (\frac{a}{2})^2}\)