Ostrosłup prawidłowy czworokątny

[hulietta]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wysokość ma długość H, a kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\). Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Odp: \(\displaystyle{ \frac{2}{3}H^{3}(\tg^{2} \frac{ \alpha }{2}-1)}\)

uprzejmie proszę o pomoc w rozwiązaniu

[anna_]

Obliczam \(\displaystyle{ |BO|}\)
\(\displaystyle{ |BO|=|\frac{1}{2}AB|\\
|BO|= \frac{a \sqrt{2} }{2}}\)

Obliczam \(\displaystyle{ |EO|}\)
\(\displaystyle{ tg{\frac{\alpha}{2}}= \frac{|BO|}{|EO|}\\
|EO|= \frac{\frac{a \sqrt{2} }{2}}{tg{\frac{\alpha}{2}}}\\
|EO|= \frac{a \sqrt{2} }{2tg{\frac{\alpha}{2}}}}\)

Obliczam \(\displaystyle{ |AE|}\)
\(\displaystyle{ |AE|^2=|AO|^2-|EO|^2\\
|AE|^2=( \frac{a \sqrt{2} }{2} )^2-(\frac{a \sqrt{2} }{2tg{\frac{\alpha}{2}}})^2\\
|AE|= \frac{a \sqrt{2} \sqrt{{tg^2{\frac{\alpha}{2}}-1}} }{2tg{\frac{\alpha}{2}}}}\)

Obliczam \(\displaystyle{ P_{p}}\)
Trójkąty AOS i AOE są podobne
\(\displaystyle{ \frac{|SO|}{|AO|} = \frac{|EO|}{|AE|}\\
\frac{H}{\frac{a \sqrt{2} }{2}} = \frac{\frac{a \sqrt{2} }{2tg{\frac{\alpha}{2}}}}{ \frac{a \sqrt{2} \sqrt{{tg^2{\frac{\alpha}{2}}-1}} }{2tg{\frac{\alpha}{2}}}}\\
\frac{2H}{a \sqrt{} 2} = \frac{1}{ \sqrt{{tg^2{\frac{\alpha}{2}}-1}} }\\
a^2=2H^2(tg^2{\frac{\alpha}{2}}-1)}\)

Obliczam \(\displaystyle{ V}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}a^2H\\
V=\frac{1}{3}\cdot 2H^2(tg^2{\frac{\alpha}{2}}-1) \cdot H\\
V= \frac{2}{3}H^3(tg^2{\frac{\alpha}{2}}-1)}\)

[hulietta]

dziękuję bardzo )