Pole powierzchni przekroju stożka

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 2 maja 2009, o 18:01

Przez wierzchołek stożka poprowadzono płaszczyznę nachyloną do wysokości h tego stożka pod kątem o mierze beta. Tworząca stożka nachylona jest do podstawy pod kątem o mierze alfa. Oblicz pole otrzymanego przekroju.

Polem przekroju jest trójkąt równoramienny o ramionach długości równych tworzącej stożka i wysokości \(\displaystyle{ h_1 = \frac{h}{\cos \beta}}\), promień podstawy stożka wynosi zaś \(\displaystyle{ r = \frac{h}{tg \alpha}}\). Następnie z tw. Pitagorasa obliczamy długość tworzącej, mamy:

\(\displaystyle{ l^2 = \frac{h^2 tg^2 \alpha + h^2}{tg^2 \alpha}}\)

Korzystając ponownie z tw. Pitagorasa obliczamy długośc połowy podstawy owego przekroju:

\(\displaystyle{ x^2 + h_1^2 = l^2}\), niestety ale potem otrzymuję błędne pole powierzchni, a zatem błąd musi już gdzieś tutaj być. Będę bardzo wdzięczny za jego znalezienie.

anna_ · Post autor: **anna_** » 2 maja 2009, o 19:51

\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{h}{l}\\
l= \frac{h}{sin\alpha}}\)

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 2 maja 2009, o 23:19

No tak, zatem połowa długości podstawy wynosi:

\(\displaystyle{ x = \frac{h}{ \sin \alpha \cos \beta} \cdot \sqrt{cos^2 \beta - \sin^2 \beta}}\)

I niestety moja odpowiedź nadal jest róna od tej z książki...

anna_ · Post autor: **anna_** » 2 maja 2009, o 23:31

Powinno być:

\(\displaystyle{ x = \frac{h}{ \sin \alpha \cos \beta} \cdot \sqrt{cos^2 \beta - \sin^2 \alpha}}\)

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 2 maja 2009, o 23:56

Ale to niestety nadal nie prowadzi do poprawnej odpowiedzi. Powinno wyjść

\(\displaystyle{ P = \frac{h^2 \sqrt{1- \tg^2 \alpha \tg^2 \beta}}{ \tg \alpha \cos \beta}}\)

jerzozwierz · Post autor: **jerzozwierz** » 3 maja 2009, o 00:02

tak się zastanawiam, czy można skorzystać z tego, że przekrój stożka jest parabolą. A gdyby to w układ współrzędnych wrzucić i scałkować?

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 3 maja 2009, o 00:12

No bez przesady, to zadanie jest z prostego zbioru zadań dla liceum...

mikolajr · Post autor: **mikolajr** » 3 maja 2009, o 11:08

Możesz obliczyć połowę podstawy przekroju z trójkąta prostokątnego utworzonego przez połowę promienia (przeciwprostokątna), odległość podstawy przekroju (szukanego) od osi obrotu stożka oraz połowę podstawy przekroju szukanego.

x- odległość podstawy przekroju szukanego od
\(\displaystyle{ x=h \cdot tg \beta}\)

po przekształceniach itd powinno ci wyjść to co w odpowiedziach

Bartek1991 · Post autor: **Bartek1991** » 3 maja 2009, o 11:59

W ogóle tego nie widzę...poza tym gdzie ja popełniam błąd?

mikolajr · Post autor: **mikolajr** » 3 maja 2009, o 13:05

pokaże to na podstawie stożka, chodziło mi |DE| - podstawa przekroju |AG| - x czyli ta odległość od podstawy przekroju i |AE| - promień i obliczasz |GE| czyli połowe podstawy przekroju

odnośnie w czym masz błąd to nie wiem ale analizując odpowiedź to z tego korzystali

anna_ · Post autor: **anna_** » 3 maja 2009, o 15:18

Te wzory są równoważne. Sprawdziłam to dla kilku kątów, więc błędu w rozwiązaniu nie ma.

\(\displaystyle{ P= \frac{h\sqrt{cos^2 \beta - \sin^2 \alpha}} {{ \sin \alpha \cos \beta}}\cdot \frac{h}{cos\beta}= \frac{h^2\sqrt{cos^2 \beta - \sin^2 \alpha}} {{ \sin \alpha \cos^2 \beta}}}\)

\(\displaystyle{ P = \frac{h^2 \sqrt{1- \tg^2 \alpha \tg^2 \beta}}{ \tg \alpha \cos \beta}}\)

florek177 · Post autor: **florek177** » 4 maja 2009, o 07:02

y - odcinek między wysokościami; x - połowa podstawy przekroju

\(\displaystyle{ \frac{H}{r} = tg(\alpha)\,\,\,}\) ; \(\displaystyle{ \,\, \frac{y}{H} = tg(\beta) \,\,\,}\) ;\(\displaystyle{ \frac{H}{h} = cos(\beta)}\) ; \(\displaystyle{ x^{2} = r^{2} - y^{2}}\)
i wyjdzie jak w odpowiedzi.