największa obj. graniastosłupa z pośród...

piaggio261 · Post autor: **piaggio261** » 30 kwie 2009, o 19:14

A no prosze:
Spośród wszystkich graniastosłupów prawidłowych czworokątnych, których suma dł. krawędzi jest równa 4m wyznacz graniastosłup o największej objętości.

Dzieki za szybką odp.

miki999 · Post autor: **miki999** » 30 kwie 2009, o 19:36

Niech \(\displaystyle{ a}\) oznacza długość krawędzi podstawy, natomiast \(\displaystyle{ h}\)- wysokość graniastosłupa. Sumując wszystkie krawędzie otrzymujemy: \(\displaystyle{ 8a+4h=4 \ \ \Rightarrow \ \ 2a+h=1}\)

Ok, teraz zajmijmy się objętością:
\(\displaystyle{ V=P_{p} \cdot h=a^{2} \cdot h}\)
Czyli mamy taki układzik:
\(\displaystyle{ \begin{cases} h=1-2a \\ V=a^{2} \cdot h \end{cases}}\)

Podstaw, proszę, pierwszą zależność do 2. wzoru. Jaką funkcją boku \(\displaystyle{ a}\) jest objętość tego graniastosłupa? Jak znaleźć argument tej funkcji, dla której osiąga ona największą wartość?

Odpowiedzi na te pytania pozostawiam Tobie.

Pozdrawiam.

Edit.:
Poprawiłem dodawanie na mnożenie- taki czeski błąd

piaggio261 · Post autor: **piaggio261** » 30 kwie 2009, o 19:56

Aaa...
no jasne!

Dzięki! ja jakoś za dużego podstępu szukałem tzn. potraktowałem to 4m jako 4 razy parametr "m" a nie metry...
ale z drugiej strony jest to zad maturalne (poziom rozszerzony) za 7pkt. czyli jakby to miało byc 4 metry to nadzwyczaj prosto wygląda.
może to jednak parametr??
jakiś pomysł co wtedy??

miki999 · Post autor: **miki999** » 30 kwie 2009, o 20:05

jakiś pomysł co wtedy??

To samo

\(\displaystyle{ \begin{cases} h=m-2a \\ V=a^{2} \cdot h \end{cases}}\)

Podstawiamy i mamy funkcję z parametrem. Jednak wydaje mi się, że \(\displaystyle{ m}\), to nie parametr.

+link do identycznego zadania, które już miało okazję się pojawić na naszym forum (tyle, że z zastosowaniem rachunku różniczkowego, którego jeszcze nie znamy):
https://www.matematyka.pl/52618.htm

Tylko daj Panie Boże takie proste zadania na maturze

piaggio261 · Post autor: **piaggio261** » 30 kwie 2009, o 20:24

właśnie sie od kumpla dowiedziałem ze to jest parametr...:/ bo tak jest w jakimś kluczu który kiedyś widział.

no i kurcze sorry ale ja nie wiem ja to dalej rozwiązać, bo w linku 4m=4metry...

mozesz dokonczyć??

i chyba
V=a^{2}*h

pzdr

anna_ · Post autor: **anna_** » 30 kwie 2009, o 21:06

\(\displaystyle{ 8a + 4h = 4m\\
2a + h = m\\
h = m - 2a\\
V=a^2h\\
V = a^{2} \cdot (m - 2a)\\
V = -2a^3+a^2m\\
V'(a) = -6a^2+2am\\
V'(a) = 0\\
-6a^2+2am = 0\\
-2a(3a-m)=0\\
-2a = 0 \ lub \ 3a -m= 0\\
a = 0 \ lub \ 3a =m\\
a =\frac{m}{3}\\
h = m - 2a\\
h=m-\frac{2m}{3}\\
h=\frac{m}{3}}\)

Szukany granisatosłup jest sześcianem o krawędzi \(\displaystyle{ \frac{m}{3}}\)