Przekątna prostopadłościanu ...
Przekątna prostopadłościanu ...
Przekątna prostopadłościanu ma długość d i tworzy z każdą ścianą boczną kąt α. a) uzasadnij, że podstawa tego prostopadłościanu jest kwadratem. b) oblicz pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu w przypadku, gdy: d=10 cm i α=30 . prosze o pomoc
-
kuba958
- Użytkownik
- Posty: 74
- Rejestracja: 24 mar 2009, o 17:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecinek
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 13 razy
Przekątna prostopadłościanu ...
Jak poprowadzisz z jednego końca przekątnej prostopadłościanu przekątną ściany bocznej a następnie połączysz ją z drugim końcem prostopadłościanu to otrzymasz trójkąt prostokątny. Robiąc to na wszystkie możliwości otrzymasz trzy trójkąty z takim samym katem ostrym\(\displaystyle{ \alpha}\).
Zapisując równość tangensów tego kąta we wszystkich trójkątach mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a}{ \sqrt{b^{2}+c^{2}} }= \frac{b}{ \sqrt{a^{2}+c^{2}} }=\frac{c}{ \sqrt{a^{2}+b^{2}} } \Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}=\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}} \Rightarrow a^{4}+a^{2}b^{2}=c^{4}+c^{2}b^{2}}\)
Załóżmy, że wymiary a,b,c są różne, przyjmijmy a>b>c. Wtedy mamy
\(\displaystyle{ a^{4}>c^{4}}\)
i
\(\displaystyle{ a^{2}b^{2}>c^{2}b^{2}}\)
co przeczy powyższej równości. Dowodzi to, że istnieje para liczb równych wśród liczb a,b,c. Dalej już łatwo wykazać, że a=b=c
Gdy d=10 i \(\displaystyle{ \alpha =30}\) mamy w takim trójkącie \(\displaystyle{ \frac{a}{10} = \sin30=0,5 \Rightarrow a=5 \Rightarrow P=6 \cdot a^{2}=150}\)
Zapisując równość tangensów tego kąta we wszystkich trójkątach mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a}{ \sqrt{b^{2}+c^{2}} }= \frac{b}{ \sqrt{a^{2}+c^{2}} }=\frac{c}{ \sqrt{a^{2}+b^{2}} } \Rightarrow \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}=\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}} \Rightarrow a^{4}+a^{2}b^{2}=c^{4}+c^{2}b^{2}}\)
Załóżmy, że wymiary a,b,c są różne, przyjmijmy a>b>c. Wtedy mamy
\(\displaystyle{ a^{4}>c^{4}}\)
i
\(\displaystyle{ a^{2}b^{2}>c^{2}b^{2}}\)
co przeczy powyższej równości. Dowodzi to, że istnieje para liczb równych wśród liczb a,b,c. Dalej już łatwo wykazać, że a=b=c
Gdy d=10 i \(\displaystyle{ \alpha =30}\) mamy w takim trójkącie \(\displaystyle{ \frac{a}{10} = \sin30=0,5 \Rightarrow a=5 \Rightarrow P=6 \cdot a^{2}=150}\)