Objętość ostrosłupa którego podstawa jest wpisana w okrąg

[winfast29]

Długość wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa długości promienia okręgu opisanego na podstawie. Pole ściany bocznej jest równe \(\displaystyle{ 18 \sqrt{3}}\). Oblicz v.

[Natasha]

czyli mamy

\(\displaystyle{ H= \frac{a \sqrt{2}}{2}}\) (promien okręgu opisanego na podstawie)
z pola ściany:
\(\displaystyle{ 18 \sqrt{3} = \frac{1}{2}ah}\)

h-wysokość ściany
\(\displaystyle{ ah=36 \sqrt{3}}\)

z pitagorasa liczymy dl boku podstawy (rozrysuj sobie to wszystko, dobrze widac ten trojkąt)

\(\displaystyle{ ( \frac{a \sqrt{2} }{2}) ^{2}+ (\frac{1}{2}a)^{2}=h^{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{4}a^{2}+ \frac{1}{4}a^{2}=h^{2}}\)

\(\displaystyle{ h= \frac{ \sqrt{3} }{2}a}\)

i wracamy do pola ściany
\(\displaystyle{ 36 \sqrt{3}= a* \frac{ \sqrt{3} }{2}a}\)
\(\displaystyle{ a ^{2}= 72}\)
\(\displaystyle{ a=6 \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ H=6}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}*72*6= 144}\)

[PiotrK]

Natasha,
moim zdaniem pomyliłaś się przy podstawieniu a do wzoru na H; powinno być:

\(\displaystyle{ H = \frac{6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{6 \cdot 2}{2} = 6}\)

i wtedy V wyjdzie ładne 144

Pozdrawiam.

[Natasha]

A no tak, dzięki!