Dlugosc przyprostokatnych w trojkacie

[roXXo]

W trojkacie prostokatnym \(\displaystyle{ ABC ( \sphericalangle |ABC|=90 stopni)}\) przeciwprostokatna ma dlugosc \(\displaystyle{ \sqrt{34}cm}\) i jedna z przyprostokatnych jest o 4cm dluzsza od drugiej. Przyprostokatne tego trojkata sa przeciwprostokatnymi dwoch trojkatow prostokatnych rownoramiennych. Oblicz dlugosc przyprostokatnych kazdego z tych trojkatow.

[Natasha]

Wychodzą jakies pierwiastki, to nie wiem, czy to dobrze, ale napisze:

\(\displaystyle{ x, x+4}\) - przyprostokątne danego trójkąta

z pitagorasa:

\(\displaystyle{ (x+4) ^{2}+ x ^{2}=( \sqrt{34}) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+8x+16+x ^{2}=34}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}+4x-9=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta=16-4*1*(-9)=52}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}= 2 \sqrt{13}}\)

\(\displaystyle{ x ^{+}= \frac{-4+2 \sqrt{13} }{2}= \sqrt{13}-2}\)
\(\displaystyle{ x+4= \sqrt{13}+2}\)

i to są przeciwprostokątne trojkątów prostokątnych równoramiannych

a,b - kolejno przyprostokątne tych trójkątów

\(\displaystyle{ a ^{2}+a ^{2}= (\sqrt{13}+2) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2a^{2}=13+4 \sqrt{13}+4}\)

\(\displaystyle{ a^{2}=2 \sqrt{13}+ \frac{17}{2}}\)

\(\displaystyle{ a= \sqrt{2 \sqrt{13}+ \frac{17}{2}}}\)

i drugi trójkąt

\(\displaystyle{ b ^{2}+ b ^{2} =( \sqrt{13}-2)^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2b^{2}=13-4 \sqrt{13}+4}\)
\(\displaystyle{ b^{2}=-2 \sqrt{13}+ \frac{17}{2}}\)

\(\displaystyle{ b= \sqrt{-2 \sqrt{13}+ \frac{17}{2}}}\)