Ostrosłup. Wzór na V.

karolx · Post autor: **karolx** » 13 lut 2006, o 22:21

Witam,

W planimetrii majac dane długości boków trójkąta i promień okręgu wpisanego w ten trójkąt możemy obliczyć pole ze wzoru: P = (r/2)(a+b+c). To tyle na wstepie ^^

A teraz to o co chce spytac:
Czy analogicznie w stereometrii (dla ostrosłupa, ktory w podstawie ma trójkąt, mając dane pola powierzchnie ścian bocznych i podstawy oraz promień kuli wpisanej w ten ostrosłup) możemy jego objętość obliczyć ze wzoru:
V = (R/3)(A+B+C+D), gdzie:
R - promień kuli
A,B,C,D - pola powierzchni scian ostroslupa

A jezeli tak to czy mozna w rozwiazaniu zadania uznac to za oczywiste?? ;D

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 14 lut 2006, o 15:22

Nie jestem pewna do końca czy to jest dobry tok myślenia. Raczej nie przekonuje mnie to. Przypuśćmy, że masz na przykład Promień kuli wpisanej w ostrosłup prawidłowy trójkątny jest równy r , a kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy α Obliczyć objętość tego ostrosłupa. Wówczas lepiej byłoby wykorzystać wzór na kąt połówkowy, dzieki temu obliczyc pole podstawy.

karolx · Post autor: **karolx** » 14 lut 2006, o 16:29

Hmm... musze jeszcze nad tym pomyslec bo mam mniej wiecej takie zadanie jak napisalas (tzn, dany jest kat nachylenia) tylko ono jest z konkursu a wiec glupota byloby gdybym przepisal tresc i poprosil o rozwiazanie

A co do podanego przeze mnie wzoru, ma ktos moze jeszcze jakies zdanie nt. jego prawdziwości??

Lady Tilly · Post autor: **Lady Tilly** » 14 lut 2006, o 16:48

Tak myślę, dobrze byłoby żeby ktoś jeszcze się wypowiedział. Weż też po uwagę , że kula wpisana w wielościan to kula, która mieści się w nim cała i której brzeg dotyka wszystkich ścian wielościanu (a nie krawędzi) i nie w każdy wielościan można wpisać kulę. Można tego jednak dokonać m.in. dla każdego wielościanu foremnego.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 14 lut 2006, o 21:07

Niech \(\displaystyle{ O}\) - środek kuli wpisanej w czworościan, \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) - jego wierzchołki.

Jeśli połączymy punkt \(\displaystyle{ O}\) z wierzchołkami, to otrzymamy cztery czworościany, oznaczmy ich objętości przez \(\displaystyle{ V_1, V_2, V_3, V_4}\), \(\displaystyle{ V}\) - objętość 'całego' czworościanu.

Oczywiście \(\displaystyle{ V=V_1+V_2+V_3+V_4}\).

Promień kuli wpisanej jest zarazem wysokością każdego z rozważanych czterech czworościanów, więc \(\displaystyle{ V = \frac{R}{3}A+\frac{R}{3}B+\frac{R}{3}C+\frac{R}{3}D = \frac{R}{3}(A+B+C+D)}\), więc wzór ten jest jak najbardziej prawdziwy

Wydaje mi się, że np. na maturze możesz powoływać się na niego bez dowodu.

liu · Post autor: **liu** » 14 lut 2006, o 21:12

Wydaje mi się, że np. na maturze możesz powoływać się na niego bez dowodu.

Raczej nie - nie ma go w tablicach tych maturalnych:)

karolx · Post autor: **karolx** » 15 lut 2006, o 17:20

Tomasz Rużycki, dokladnie o takim samym dowodzie myslalem ale nie bylem pewien czy gdzies nie nadinterpretuje...

A zadanko jest z konkursu PW. W zeszlym roku wylosowalem takie samo, powolalem sie na ten dowod ale wiem ze jedno z 10finalowych zadan mialem zle i tak pomyslalem teraz ze upewnie sie czy to nie bylo przypadkiem przez ten wzor.. ale z tego co piszecie to jakies inne zepsulem.. ;D