Objętość ostrosłupa, odległość punktu od płaszczyzny

[demens]

W przestrzeni dane są proste k, l, m przecinające się w punkcie A, parami prostopadłe. Na prostych k, l, m zaznaczono odpowiednio punkty K, L, M w taki sposób, że \(\displaystyle{ |AK|=|AL|=1}\) oraz \(\displaystyle{ |AM|=2}\).

Rysunek do zadania:
img87.imageshack.us/img87/5651/ostrosup.jpg (w ogóle nie rozumiem dlaczego jest zakaz zamieszczania obrazków, przy niektórych zadaniach rysunek chyba jest dosyć pomocny).

Oblicz:
a) objętość powstałego ostrosłupa
b) pole trójkąta KLM
c) odległość punktu A od płaszczyzny KLM

Podpunkt a zrobiłem i chciałbym prosić o sprawdzenie:

a) \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} P_{p}h}\)

|AM| = h (wysokość ostrosłupa)
h=2

Podstawą jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 1 i 1, zatem:
\(\displaystyle{ P_{p} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = \frac{1}{3}}\)

[Faro]

Też mam problem z tym zadaniem. Proszę o pomoc.

[anna_]

a) według mnie jest dobrze


b)
KLM jest trójkątem równoramiennym.
Obliczam |KL|
\(\displaystyle{ |KL|^2=|AK|^2+|AL|^2\\
|KL|^2=1^2+1^2\\
|KL|= \sqrt{2}}\)
Obliczam |KM| (|KM|=|LM|)
\(\displaystyle{ |KM|^2=|AK|^2+|AM|^2\\
|KM|^2=1^2+2^2\\
|KM|^2=5\\
|KM|= \sqrt{5}}\)
Obliczam wysokość BM trójkąta KLM
\(\displaystyle{ |BM|^2=|KM|^2-( \frac{1}{2}|KL| )^2\\
|BM|^2=(\sqrt{5})^2-(\frac{ \sqrt{2} }{2})^2\\
|BM|^2=5- \frac{1}{2}\\
|BM|^2= \frac{9}{2}\\
|BM|= \frac{3 \sqrt{2} }{2}}\)
Obliczam pole trójkąta
\(\displaystyle{ P= \frac{|KL||BM|}{2}\\
P= \frac{\sqrt{5}\cdot\frac{3 \sqrt{2} }{2} }{2}\\
P= \frac{3 \sqrt{10} }{4}}\)

c)
Obliczam |AB|
\(\displaystyle{ |AB|^2=|AK|^2( \frac{1}{2}|KL| )^2\\
|AB|^2=1^2-( \frac{ \sqrt{2} }{2} )^2\\
|AB|^2=1- \frac{1}{2}\\
|AB|^2= \frac{1}{2} \\
|AB|= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
Obliczam |AC|
\(\displaystyle{ \frac{|AB||AM|}{2}= \frac{|BM||AC|}{2}\\
\frac{\frac{ \sqrt{2} }{2}\cdot 2}{2}= \frac{ \frac{3 \sqrt{2} }{2}\cdot |AC| }{2}\\
\frac{ \sqrt{2} }{2} = \frac{3 \sqrt{2} }{4}|AC|\\
|AC|= \frac{2}{3}}\)