Szescian o krawedzi długosci a przecieto plaszczyzna przechodzaca przez przekatna dolnej podstawy i srodki dwoch krawedzi podstawy. Oblicz pole i obwod otrzymanego przekroju.
nie mam pomyslu na to ;/
Obliczenie pola i obwodu przekroju
-
Majk
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 10 mar 2009, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 6 razy
Obliczenie pola i obwodu przekroju
Jak to w stereometrii bywa zazwyczaj, zadanie zaczynamy od duzego rysunku.
(nie wiem od kogo 'uslyszalem' to stwierdzenie, ale bardzo mi sie podoba :> )
porobilem sobie swoje nazewnictwa, mysle, ze w miare klarownie wszystko jest wyrysowane i oznaczone. Zacznijmy od obwodu.
Przekrojem jest trapez. Do obliczenia jego obwodu potrzebne nam jest \(\displaystyle{ p, x, b}\)
\(\displaystyle{ p}\) to nic innego jak przekatna kwadratu, czyli mechanicznie \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\). W taki sam sposob (mechaniczny :] ) odnosimy sie do x, np z podobienstwa trojkatow, skoro boki sa \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\) to x musi byc dwa razy mniejsze od \(\displaystyle{ p}\). Mozemy to rowniez z pitagorasa policzyc, anyway \(\displaystyle{ x= \frac{a \sqrt{2} }{2}}\).
\(\displaystyle{ b}\) to przekatna prostokata o bokach \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\). Z pitagorasa \(\displaystyle{ b = \frac{a \sqrt{5} }{2}}\).
Obwod
\(\displaystyle{ O=2(\frac{a \sqrt{5} }{2} ) + a \sqrt{2} + \frac{a \sqrt{2} }{2} = a\sqrt{5} + \frac{3a \sqrt{2} }{2} = a( \sqrt{5} + \frac{3 \sqrt{2} }{2} )}\)
Do pola potrzebne nam bedzie, oprocz p i x jeszcze H, zas by je obliczyc bedziemy musieli najpierw dysponowac wielkoscia h i uzyc tw pitagorasa. Moze jest na to prostsza metoda, ale nie chce mi sie szczegolnie myslec nad tym teraz :>
\(\displaystyle{ p i x}\) mamy dane
\(\displaystyle{ h}\) jest wysokoscia w trojkacie \(\displaystyle{ ( \frac{a}{2} , \frac{a}{2} , x )}\), zatem latwo jest ten parametr wyliczyc wiedzac, ze ten trojkat jest prostokatny (tw pitagorasa). \(\displaystyle{ h = \frac{a \sqrt{8} }{8}}\). Sprawdz to, bo liczylem na szybko w glowie i mozliwe, ze jest blad :>
Teraz z tw pitagorasa liczymy H.
\(\displaystyle{ H^{2} = h^{2} + a^{2}}\)
\(\displaystyle{ H = \frac{3a \sqrt{2} }{4}}\)
Mamy juz wszystkie dane, teraz tylko wzor na pole
W sumie moglismy uzyc wzoru, ktory nie wymaga obliczenia wysokosci, ale jest skomplikowany i byloby wiecej liczenia niz teraz...
\(\displaystyle{ P = \frac{p + x}{2} \cdot H = \frac{9a^{2}}{8}}\)
koniec
(nie wiem od kogo 'uslyszalem' to stwierdzenie, ale bardzo mi sie podoba :> )
porobilem sobie swoje nazewnictwa, mysle, ze w miare klarownie wszystko jest wyrysowane i oznaczone. Zacznijmy od obwodu.
Przekrojem jest trapez. Do obliczenia jego obwodu potrzebne nam jest \(\displaystyle{ p, x, b}\)
\(\displaystyle{ p}\) to nic innego jak przekatna kwadratu, czyli mechanicznie \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\). W taki sam sposob (mechaniczny :] ) odnosimy sie do x, np z podobienstwa trojkatow, skoro boki sa \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\) to x musi byc dwa razy mniejsze od \(\displaystyle{ p}\). Mozemy to rowniez z pitagorasa policzyc, anyway \(\displaystyle{ x= \frac{a \sqrt{2} }{2}}\).
\(\displaystyle{ b}\) to przekatna prostokata o bokach \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{a}{2}}\). Z pitagorasa \(\displaystyle{ b = \frac{a \sqrt{5} }{2}}\).
Obwod
\(\displaystyle{ O=2(\frac{a \sqrt{5} }{2} ) + a \sqrt{2} + \frac{a \sqrt{2} }{2} = a\sqrt{5} + \frac{3a \sqrt{2} }{2} = a( \sqrt{5} + \frac{3 \sqrt{2} }{2} )}\)
Do pola potrzebne nam bedzie, oprocz p i x jeszcze H, zas by je obliczyc bedziemy musieli najpierw dysponowac wielkoscia h i uzyc tw pitagorasa. Moze jest na to prostsza metoda, ale nie chce mi sie szczegolnie myslec nad tym teraz :>
\(\displaystyle{ p i x}\) mamy dane
\(\displaystyle{ h}\) jest wysokoscia w trojkacie \(\displaystyle{ ( \frac{a}{2} , \frac{a}{2} , x )}\), zatem latwo jest ten parametr wyliczyc wiedzac, ze ten trojkat jest prostokatny (tw pitagorasa). \(\displaystyle{ h = \frac{a \sqrt{8} }{8}}\). Sprawdz to, bo liczylem na szybko w glowie i mozliwe, ze jest blad :>
Teraz z tw pitagorasa liczymy H.
\(\displaystyle{ H^{2} = h^{2} + a^{2}}\)
\(\displaystyle{ H = \frac{3a \sqrt{2} }{4}}\)
Mamy juz wszystkie dane, teraz tylko wzor na pole
W sumie moglismy uzyc wzoru, ktory nie wymaga obliczenia wysokosci, ale jest skomplikowany i byloby wiecej liczenia niz teraz...
\(\displaystyle{ P = \frac{p + x}{2} \cdot H = \frac{9a^{2}}{8}}\)
koniec