Graniastosłup prosty

[owen1011]

1. Podstawa graniastoslupa prostego jest rownoleglobok o kacie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\). Przekatne graniastoslupa sa nachylone do plaszczyzny podstawy pod katami \(\displaystyle{ \beta i \gamma ( \beta<\gamma)}\), a wysokosc graniastoslupa ma dlugosc H. Oblicz objetosc.


2.W podstawie stożka wpisano kwadrat o boku długości \(\displaystyle{ a=5cm}\). Przekrój stożka płaszczyzną przechodzącą przez jego wierzchołek i bok wpisanego w podstawę kwadratu jest trójkątem równobocznym. Wyznacz stosunek objętości brył, na jakie ta płaszczyzna dzieli stożek.


Z gory dzieki za pomoc...

[piasek101]

1. Z funkcji trygonometrycznych przekątne podstawy; potem z kosinusów krawędzie podstawy.

2. Objętość małej otrzymasz gdy : od objętości stożka odejmiesz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego (,,wpisany " w ten stożek) i podzielisz na cztery.

[owen1011]

w 2 brak mi wysokosci, ale jezeli dobrze rozumie zadanie, to wystarczy porownac pole podstawy bo wysokosc jest taka sama dla obu figur, prawda?

W 1 natomiast okreslilem przekatne podstawy z funkcji trygonometrycznych, ale nie wiem za nic jak skorzystac z cosinusa w podstawie, jezeli cos probuje to wychodza glupoty jak sprzecznosc...

[Majk]

w drugim mozesz latwo obliczyc wysokosc, wiedzac, ze przekroj jest trojkatem rownobocznym. Wiesz, ze przekatna w kwadracie, to \(\displaystyle{ a \sqrt{2}}\). Kreslisz trojkat (bok przekroju trojkata, polowa przekatnej w kwadracie i wysokosc figury) i z tw pitagorasa \(\displaystyle{ H^{2} = a^{2} - (\frac{a \sqrt{2} }{2})^{2}}\).

W 1 jezeli masz przekatne podstawy i oba katy (alfa i 180-alfa) to mozesz uzyc dwa razy tw. cosinusow i zrobic uklad rownan, bedziesz mial 2 niewiadome (boki podstawy), jak je obliczysz, to podstawiasz do wzoru na pole \(\displaystyle{ P=ab \cdot sin \alpha}\). W sumie nie musisz wyliczac a i b, mysle, przeksztalc po prostu uklad, by po jednej stronie miec iloczyn a i b i podstaw od razu do wzoru.

[owen1011]

W drugim rzeczywiscie latwo to wyliczyc, ale i tak nie jest konieczne do zadania...


w pierwszym dalej mam problem...
wyliczylem tyle:

\(\displaystyle{ d_{1} = \frac{H}{tgB}}\)
\(\displaystyle{ d_{2}= \frac{H}{tgY}}\)

i z cosinusow dostaje cos takiego:

\(\displaystyle{ \frac{H^{2} }{tg^{2}B} = a^{2}+ b^{2}}\)
i \(\displaystyle{ \frac{H^{2} }{tg^{2}Y} = a^{2}+ b^{2}}\)

co robie źle ??

[Majk]

[...]
i z cosinusow dostaje cos takiego:

\(\displaystyle{ \frac{H^{2} }{tg^{2}B} = a^{2}+ b^{2}}\)
i \(\displaystyle{ \frac{H^{2} }{tg^{2}Y} = a^{2}+ b^{2}}\)

dokoncz :>
masz 2 rozne rownania i 2 niewiadome. Mozesz wyciagnac w jednym rownaniu \(\displaystyle{ a^{2}}\) na lewa strone i podstawic do drugiego rownania.

Mozesz rowniez wrocic do jednego z poczatkowych rownan
(np \(\displaystyle{ (d _{2})^{2} = a^{2}+ b^{2} - 2ab \cdot cos \alpha}\)) i w nim podstawic \(\displaystyle{ a^{2}+ b^{2}}\) a potem wyciagnac na jedna strone rownania sam iloczyn \(\displaystyle{ ab}\) ktory podstawiasz od razu pod wzor na pole.

//EDIT
oczywiscie zakladam, ze wyniki przez Ciebie podane sa poprawne : >