Proszę o pomoc w kilku zadaniach:
1. Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) a kąt środkowy tego wycinka ma miarę 120. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka.
Wychodzi mi \(\displaystyle{ 1}\) \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) \(\displaystyle{ \pi}\)
2.Stożek w którym promień podstawy ma 8 cm długości a wysokość 24 cm przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy stożka. Odległość płaszczyzny przekroju od wierzchołka stożka jest równa 6 cm. Oblicz objętość obu części stożka.
3.Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość bryły powstałej z obrotu trójkąta prostokątnego dokoła przeciwprostokątnej wiedząc że pole trójkąta jest równe 12 \(\displaystyle{ cm^{2}}\) a stosunek długości przyprostokątnych wynosi 2:3.
Obliczyłam długości boków trójkąta ale później jakieś dziwne liczby wychodzą
Dzięki za pomoc.
stożek objętość pole całkowite
-
Majk
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 10 mar 2009, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 6 razy
stożek objętość pole całkowite
1. Szukamy promienia podstawy. Mozna to potraktowac wzorem gotowym, ale latwiej sie do tego odniesc w taki sposob:
cale kolo mialoby obwod dlugosci \(\displaystyle{ 2 \pi R}\), skoro kat srodkowy ma 120 stopni, to luk bedzie mial \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) dlugosci calego kola, bo \(\displaystyle{ \frac{120}{360} = \frac{1}{3}}\).
Czyli wzor na dlugosc luku to \(\displaystyle{ \frac{1}{3} 2 \pi \sqrt{3}}\). Luk musi byc rowny obwodowi podstawy stozka, czyli \(\displaystyle{ 2 \pi r = \frac{1}{3} 2 \pi \sqrt{3}}\). Z tego wynika, ze \(\displaystyle{ r = \frac{ \sqrt{3} }{3}}\).
Teraz wzor na pole \(\displaystyle{ Pc = \pi r (r+l) = \pi \frac{ \sqrt{3} }{3} \cdot \frac{4 \sqrt{3} }{3} = \frac{4}{3} \pi}\). Czyli dobrze Ci wyszlo : >
2. Od razu na mysl przychodzi podobienstwo trojkatow. I to na dodatek bardzo banalne, wystarczy policzyc z proporcji : )
\(\displaystyle{ \frac{24}{8} = \frac{6}{r}}\)
\(\displaystyle{ r = 2}\)
Najpierw liczymy Objetosc calej bryly, potem objetosc mniejszej czesci (gornej) i na koniec odejmujemy objetosc malego stozka od calosci by otrzymac druga czesc. Druga czesc jest w zasadzie stozkiem scietym i ma swoj wlasny wzor na objetosc ale bez sensu go tu stosowac.
\(\displaystyle{ V_{S} = \frac{1}{3} \pi R^{2} \cdot H = 512 \pi}\)
\(\displaystyle{ V_{malego} = \frac{1}{3} \pi r^{2} \cdot H_{2} = 8 \pi}\)
\(\displaystyle{ V_{duzego} = V_{S} - V_{malego} = 504 \pi}\)
3. Widze, ze lapiesz to wszystko troche, nie bede wiec opisywal procesu liczenia. Przyprostokatne trojkata bazowego maja dlugosci 6 i 4. Przeciwprostokatna, nazwijmy ja \(\displaystyle{ H}\) ma dlugosc \(\displaystyle{ 2 \sqrt{13}}\) (twierdzenie pitagorasa). Teraz szukamy promienia podstawy naszej stozkowatej bryly (wyglada ona jak 2 stozki zlaczone do siebie podstawa, szukamy wlasnie dlugosci promienia tej podstawy). Do obliczenia tego promienia (ktory jest jednoczesnie druga wysokoscia trojkata) uzyjemy wzoru na pole trojkata.
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} H \cdot r}\)
\(\displaystyle{ 12 = \frac{1}{2} 2 \sqrt{13} \cdot r}\)
\(\displaystyle{ r = \frac{12 \sqrt{13} }{13}}\)
Mamy juz wszystkie potrzebne dane do liczenia Pola calkowitego i objetosci (ktora liczymy ze wzoru na stozek).
\(\displaystyle{ P_{c} = \pi \cdot r (l_{1} + l_{2}) = \frac{12 \sqrt{13} }{13} \pi \cdot 10 = \frac{120 \sqrt{13} }{13} \pi}\)
I teraz objetosc
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} Pp \cdot H = \frac{1}{3} \pi \frac{120}{13} \cdot 2 \sqrt{13} = \frac{240 \sqrt{13} }{39} \pi}\)
cale kolo mialoby obwod dlugosci \(\displaystyle{ 2 \pi R}\), skoro kat srodkowy ma 120 stopni, to luk bedzie mial \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) dlugosci calego kola, bo \(\displaystyle{ \frac{120}{360} = \frac{1}{3}}\).
Czyli wzor na dlugosc luku to \(\displaystyle{ \frac{1}{3} 2 \pi \sqrt{3}}\). Luk musi byc rowny obwodowi podstawy stozka, czyli \(\displaystyle{ 2 \pi r = \frac{1}{3} 2 \pi \sqrt{3}}\). Z tego wynika, ze \(\displaystyle{ r = \frac{ \sqrt{3} }{3}}\).
Teraz wzor na pole \(\displaystyle{ Pc = \pi r (r+l) = \pi \frac{ \sqrt{3} }{3} \cdot \frac{4 \sqrt{3} }{3} = \frac{4}{3} \pi}\). Czyli dobrze Ci wyszlo : >
2. Od razu na mysl przychodzi podobienstwo trojkatow. I to na dodatek bardzo banalne, wystarczy policzyc z proporcji : )
\(\displaystyle{ \frac{24}{8} = \frac{6}{r}}\)
\(\displaystyle{ r = 2}\)
Najpierw liczymy Objetosc calej bryly, potem objetosc mniejszej czesci (gornej) i na koniec odejmujemy objetosc malego stozka od calosci by otrzymac druga czesc. Druga czesc jest w zasadzie stozkiem scietym i ma swoj wlasny wzor na objetosc ale bez sensu go tu stosowac.
\(\displaystyle{ V_{S} = \frac{1}{3} \pi R^{2} \cdot H = 512 \pi}\)
\(\displaystyle{ V_{malego} = \frac{1}{3} \pi r^{2} \cdot H_{2} = 8 \pi}\)
\(\displaystyle{ V_{duzego} = V_{S} - V_{malego} = 504 \pi}\)
3. Widze, ze lapiesz to wszystko troche, nie bede wiec opisywal procesu liczenia. Przyprostokatne trojkata bazowego maja dlugosci 6 i 4. Przeciwprostokatna, nazwijmy ja \(\displaystyle{ H}\) ma dlugosc \(\displaystyle{ 2 \sqrt{13}}\) (twierdzenie pitagorasa). Teraz szukamy promienia podstawy naszej stozkowatej bryly (wyglada ona jak 2 stozki zlaczone do siebie podstawa, szukamy wlasnie dlugosci promienia tej podstawy). Do obliczenia tego promienia (ktory jest jednoczesnie druga wysokoscia trojkata) uzyjemy wzoru na pole trojkata.
\(\displaystyle{ P = \frac{1}{2} H \cdot r}\)
\(\displaystyle{ 12 = \frac{1}{2} 2 \sqrt{13} \cdot r}\)
\(\displaystyle{ r = \frac{12 \sqrt{13} }{13}}\)
Mamy juz wszystkie potrzebne dane do liczenia Pola calkowitego i objetosci (ktora liczymy ze wzoru na stozek).
\(\displaystyle{ P_{c} = \pi \cdot r (l_{1} + l_{2}) = \frac{12 \sqrt{13} }{13} \pi \cdot 10 = \frac{120 \sqrt{13} }{13} \pi}\)
I teraz objetosc
\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} Pp \cdot H = \frac{1}{3} \pi \frac{120}{13} \cdot 2 \sqrt{13} = \frac{240 \sqrt{13} }{39} \pi}\)