Ostrosłup prawidłowy sześciokątny...

[Finarfin]

W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym przekrój o najmniejszym polu płaszczyzną zawierającą wysokość ostrosłupa jest trójkątem równobocznym o boku \(\displaystyle{ 2\alpha}\). Obliczyć cosinus kąta dwuściennego między ścianami bocznymi tego ostrosłupa.


Z góry dziękuję za pomoc

[DEXiu]

Nie mam teraz kartki i nie chce mi się liczyć, ale schemat byłby taki (może nienajprostszy,ale skuteczny):
Przekrój przez wyokość o najmniejszym polu będzie zawierał wysokości przeciwległych ścian bocznych i odcinek łączący środki przeciwległych boków w podstawie. Długość krawędzi podstawy będzie wynosić \(\displaystyle{ x=\frac{2\alpha\sqrt{3}}{3}}\) (chyba dasz radę sam do tego dojść - dzielisz podstawę na 6 trójkącików równobocznych i zauważasz, że ten odcinek długości \(\displaystyle{ 2\alpha}\) to podwojona wysokość takiego trójkącika). Znając już bok podstawy będący też podstawą ściany bocznej i znając wysokość ściany bocznej policz długość krawędzi bocznej (z tw. Pitagorasa). Wysokość ostrosłupa jesteś w stanie policzyć (wiesz, że jest to wysokość trójkąta równobocznego o boku \(\displaystyle{ 2\alpha}\)). Mając daną krawędź boczną, wysokość i odcinek łączący ich końce (o długości równej długości krawędzi podstawy czyli \(\displaystyle{ x}\) - patrz wyżej) jesteś w stanie z twierdzenia cosinusów policzyć cosinus kąta między krawędzią boczną a wysokością ostrosłupa (oznaczmy ten kąt jako \(\displaystyle{ \delta}\), czyli znamy już \(\displaystyle{ cos\delta}\)). Teraz przetnijmy ostrosłup płaszczyzną prostopadłą do krawędzi bocznej i przechodzącą przez dwa wierzchołki podstawy niesąsiadujące ze sobą i nienaprzeciwległe (czyli jakbyśmy ponumerowali wierzchołki przy podstawie 1, 2, 3, 4, 5, 6 to nasza płaszczyzna przejdzie np. przez 1 i 3 oraz przetnie krawędź boczną opuszoną do 2). Częścią wspólną tej płaszczyzny i naszego ostrosłupa będzie trójkąt równoramienny, któego podstawa ma długość \(\displaystyle{ 2\alpha}\) co łatwo sprawdzić. Mamy wyznaczyć cosinus kąta między ramionami tego trójkąta (gdyż to właśnie będzie cosinus kąta dwuściennego między ścianami bocznymi - oznaczmy ten kąt jako \(\displaystyle{ \phi}\)). Policzmy teraz wysokość tego trójkąta (oznaczmy ją jako \(\displaystyle{ h}\)) opuszczoną na podstawę na dwa sposoby. Po pierwsze \(\displaystyle{ h=\alpha\cdot ctg\frac{\phi}{2}}\). Po drugie: zauważmy, że nasza płaszczyzna "odcięła" od podstawy trójkąt równoramienny o wysokości \(\displaystyle{ \frac{x}{2}}\), więc jeśli oznaczymy kąt między krawędzią boczną ostrosłupa a podstawą jako \(\displaystyle{ \beta}\), to
\(\displaystyle{ h=\frac{x}{2}\cdot{sin\beta}=\frac{x}{2}\cdot{sin(\frac{\pi}{2}-\delta)}=\frac{x}{2}\cdot{cos\delta}}\)
Z powyższych dwóch przypadków otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ \alpha\cdot{ctg\frac{\phi}{2}}=\frac{x}{2}\cdot{cos\delta}}\) z którego (tak mi się wydaje) prostymi przekształceniami i wzorami z tablic otrzymamy szukany \(\displaystyle{ cos\phi}\) (przypominam, że w powyższym równaniu znamy już wszystko oprócz \(\displaystyle{ ctg\frac{\phi}{2}}\) z któego trzeba przejść na \(\displaystyle{ cos\phi}\)). Mam nadzieję, że nie namotałem za bardzo i będziesz w stanie to sobie wyobrazić/narysować