Największa mozliwa objętość.

[mixmix]

Suma długości krawędzi prostopadłościanu o podstawie kwadratowej jest równa l. Wyznacz największą możliwą objętość tego prostopadłościanu. Proszę o pomoc!

[klaustrofob]

\(\displaystyle{ V=abc,\ a+b+c=l}\) wiadomo, że (*) \(\displaystyle{ \sqrt[3]{abc}\leq \frac{a+b+c}{3}=\frac{l}{3}}\), tzn. \(\displaystyle{ abc\leq (\frac{l}{3})^3}\), a zatem objętość graniastosłupa nie przekracza tej liczby. jednocześnie, w (*) może zachodzić równość - wtedy i tylko wtedy, gdy a=b=c. wtedy też otrzymujemy największą objętość

[Justka]

Z treści mamy \(\displaystyle{ 2a+H=l \iff H=l-2a}\)

A więc objętość jest równa \(\displaystyle{ V(a)=a^2\cdot (l-2a)=a^2l-2a^3}\)

oblicamy pochodną \(\displaystyle{ V'(a)=2al-6a^2}\), stąd \(\displaystyle{ V'(a)=0}\) dla \(\displaystyle{ a=\frac{1}{3}l}\)

Zatem największa objętość jest równa \(\displaystyle{ V=(\frac{1}{3}l)^2\cdot(l-\frac{2}{3}l)=\frac{1}{27}l^3}\)