P jest prostopadłościanem o wymiarach 1x2x3. Jakie jest pole powierzchni figury tworzonej przez punkty będące w odległości 1 od P.
Interesuje mnie jaki kształt przyjmie ta figura.
punkty odległe od prostopadłościanu
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
punkty odległe od prostopadłościanu
Prostopadłościan z zaokrągleniami:
Niech jego krawędzie mają długości: \(\displaystyle{ a,b,c}\).
Niech jego ściany mają pola \(\displaystyle{ S_1,...,S_3}\), czyli \(\displaystyle{ S_1=ab, S_2=ac, S_3=bc}\)
Do objętości wyjściowego prostopadłościanu trzeba dodać:
1. Do każdej ściany doklejamy prostopadłościan o wysokości 1:
\(\displaystyle{ 1\cdot 2 \cdot (S_1+...+S_3)=2\cdot(ab+bc+ac)}\)
2. Trzeba dodać (ćwiartki walców) doklejone do krawędzi:
\(\displaystyle{ 4\cdot\frac 14\cdot (a+b+c)\pi\cdot 1^2=(a+b+c)\cdot\pi}\)
3. W końcu trzeba dodać osiem kopii 1/8 kuli o promieniu 1 (w rogach), czyli
\(\displaystyle{ 8\cdot\frac 18\cdot\frac{4\pi\cdot 1^2}{3}=\frac{4\pi}{3}}\)
Zatem wynik to:
\(\displaystyle{ abc+2(ab+bc+ac)+\pi\cdot(a+b+c)+\frac{4\pi}{3}}\)
Niech jego krawędzie mają długości: \(\displaystyle{ a,b,c}\).
Niech jego ściany mają pola \(\displaystyle{ S_1,...,S_3}\), czyli \(\displaystyle{ S_1=ab, S_2=ac, S_3=bc}\)
Do objętości wyjściowego prostopadłościanu trzeba dodać:
1. Do każdej ściany doklejamy prostopadłościan o wysokości 1:
\(\displaystyle{ 1\cdot 2 \cdot (S_1+...+S_3)=2\cdot(ab+bc+ac)}\)
2. Trzeba dodać (ćwiartki walców) doklejone do krawędzi:
\(\displaystyle{ 4\cdot\frac 14\cdot (a+b+c)\pi\cdot 1^2=(a+b+c)\cdot\pi}\)
3. W końcu trzeba dodać osiem kopii 1/8 kuli o promieniu 1 (w rogach), czyli
\(\displaystyle{ 8\cdot\frac 18\cdot\frac{4\pi\cdot 1^2}{3}=\frac{4\pi}{3}}\)
Zatem wynik to:
\(\displaystyle{ abc+2(ab+bc+ac)+\pi\cdot(a+b+c)+\frac{4\pi}{3}}\)