kule i sześcian

bzyk12 · Post autor: **bzyk12** » 4 kwie 2009, o 22:58

Jaki jest promień dwóch przystających kul, które zmieszczą się w sześcianie o krawędzi 1?

lionek · Post autor: **lionek** » 4 kwie 2009, o 23:14

\(\displaystyle{ V_{sz}=1}\)
\(\displaystyle{ V_{2k}= \frac{8}{3} \cdot \Pi r^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{8}{3} \cdot \Pi \cdot r^2=1}\)
\(\displaystyle{ r^2= \frac{3}{8 \cdot \Pi}}\)
\(\displaystyle{ r^2 \approx 0.12}\)
\(\displaystyle{ r \approx 0.35}\)

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 4 kwie 2009, o 23:40

Podpowiedź:
Kule powinny mieć środki na przekątnej sześcianu.
Czyli jeżeli \(\displaystyle{ r}\) - promień kuli, to długość przekątnej sześcianu jest sumą odległości środków kul i długości przekątnych dwóch mniejszych sześcianów o krawędzi \(\displaystyle{ r}\).

lionek · Post autor: **lionek** » 4 kwie 2009, o 23:53

A nie możemy po prostu uznać, że kule są wewnątrz sześcianu, bez względu na to jak są położone...

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 5 kwie 2009, o 00:07

Możemy, ale ja miałam na myśli kule o maksymalnym promieniu, a Twoje się nie zmieszczą.

lionek · Post autor: **lionek** » 5 kwie 2009, o 00:23

Faktycznie teraz zauważyłem...
czyli wychodzi na to, że kule mogę mieć promień max równy \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\) przekątnej sześcianu???

bosa_Nike · Post autor: **bosa_Nike** » 5 kwie 2009, o 00:38

Nie.
Niech \(\displaystyle{ a}\) -długość krawędzi sześcianu. Pojedyncza kula jest styczna do trzech ścian mających wspólny wierzchołek, czyli środek kuli leży w odległości \(\displaystyle{ r}\) od każdej z tych ścian, tzn. w odległości \(\displaystyle{ r\sqrt{3}}\) od ich wspólnego wierzchołka. Z drugiej strony jedna kula jest styczna do drugiej, więc ich środki są w odległości \(\displaystyle{ 2r}\). Czyli długość przekątnej dużego sześcianu: \(\displaystyle{ a\sqrt{3}=2r\sqrt{3}+2r}\).

lionek · Post autor: **lionek** » 5 kwie 2009, o 00:45

Aha teraz już to rozumie...