Os. pr. tr. kąt płaski przy wierzchołku, odl. od krawędzi

[Marmon]

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę \(\displaystyle{ \alpha}\), zaś odległość wierzchołka podstawy od krawędzi bocznej, do której nie należy, jest równa \(\displaystyle{ a}\). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa


Mam jakieś zaćmienie mózgu i nie umiem nic wydobyć z informacji o odległości od krawędzi.
Jedyne co mam to jedno równanie
\(\displaystyle{ c}\)długość podstawy
\(\displaystyle{ h_{b}}\)wysokość ściany bocznej
\(\displaystyle{ H-}\)wysokość ostrosłupa

\(\displaystyle{ h_{b}=\frac{c}{2tg\frac{\alpha}{2}}}\)
i nie mam z czym tego porównać

jak bym miał \(\displaystyle{ c}\) to już sobie poradze....
\(\displaystyle{ H=c \sqrt{\frac{1}{4tg^{2}\frac{\alpha}{2}}-\frac{1}{12}}}\)-- 4 kwietnia 2009, 15:08 --Już sobie poradziłem ale liczenie tam jest na tyle zabójcze że mi się wynik tylko częściowo zgadza z odpowiedzią,
trzeba było skorzystać z podobieństwa

[Sherlock]

\(\displaystyle{ sin\alpha= \frac{a}{c}}\)
\(\displaystyle{ c= \frac{a}{sin\alpha}}\)
Zatem pole ściany bocznej:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ac= \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{sin\alpha}= \frac{a^2}{2sin\alpha}}\)

Krawędź podstawy (trójkąta równobocznego) oznaczyłem b.
kąt przy podstawie b ma miarę \(\displaystyle{ \frac{180^0-\alpha}{2}=90^0- \frac{\alpha}{2}}\)
kąt należy do I ćwiartki więc: \(\displaystyle{ sin(90^0- \frac{\alpha}{2})=cos \frac{\alpha}{2}}\)
dalej możemy skorzystać z tw. sinusów:
\(\displaystyle{ \frac{c}{sin(90^0- \frac{\alpha}{2})} = \frac{b}{sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{a}{sin\alpha}}{cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{b}{sin\alpha}}\)
\(\displaystyle{ b= \frac{a}{cos \frac{\alpha}{2}}}\)
(można też do tego dojść z podobieństwa trójkątów )

Zatem Pc już w zasadzie policzone

H do objętości policzysz z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ H^2+R^2=c^2}\) gdzie R to promień okręgu opisanego na podstawie czyli: \(\displaystyle{ R= \frac{2}{3}h_{podstawy}= \frac{2}{3} \cdot \frac{b \sqrt{3} }{2}}\)