Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
plaszczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 28 mar 2009, o 14:16
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy

Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Post autor: plaszczek »

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o długości k jest nachylona do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Wiedząc, że \(\displaystyle{ cos \alpha =0,75}\), oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy
\(\displaystyle{ k}\) - krawędź boczna
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość ściany bocznej
\(\displaystyle{ h}\) - wysokość podstawy

Więc ja liczyłem to za pomocą twierdzenia cosinusów. wysokośc podstawy i krawędz boczna, kąt między nimi i z tego wyznaczałem wysokość ściany bocznej. mając to liczyłem\(\displaystyle{ a}\), a pożniej wysokość ostrosłupa
\(\displaystyle{ H ^{2} = k ^{2} - \frac{1}{4} ^{2}}\) itp
i wszystko uzależnialem od zmiennej a - została jedna niewiadoma...proszę tylko o potwierdzenie czy sposób jest dobry (mimo wszystko wynik wychodzi mi zły) bądź też wskazanie innego
pozdrawiam
Awatar użytkownika
Sherlock
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2783
Rejestracja: 19 lis 2008, o 18:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Pomógł: 739 razy

Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Post autor: Sherlock »


Prawidłowy ostrosłup trójkątny jest dosyć specyficzny
Zauważ, że krawędź boczna k, wysokość ostrosłupa H i promień okręgu opisanego na podstawie (trójkąt równoboczny) tworzą trójkąt prostokątny (żółty), znając \(\displaystyle{ cos\alpha}\) i mając dane k wyliczysz bez problemu H i R (z funkcji trygonometrycznych plus ewentualnie tw. Pitagorasa).
Pewnie wiesz, że w trójkącie równobocznym \(\displaystyle{ h= \frac{a \sqrt{3} }{2}}\), \(\displaystyle{ R= \frac{2}{3}h}\) a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt to \(\displaystyle{ r= \frac{1}{3}h}\).
Zatem mając R policzysz krawędź podstawy a. Promień okręgu wpisanego r będzie potrzebny do wyliczenia wysokości ściany bocznej h:
\(\displaystyle{ h^2=H^2+r^2}\)
ODPOWIEDZ