Siatka ostroslupa i pole pow. graniastosłupa

noniewiem · Post autor: **noniewiem** » 30 mar 2009, o 15:50

Witam,
mam problem z zadaniami:

1. Podstawą ostrosłupa jest kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) o boku długości 6. Ściana boczna ABS jest prostopadła do podstawy oraz \(\displaystyle{ |AS| = |BS| =5}\). Narysuj siatkę tego ostrosłupa i oblicz jego pole powierzchni całkowitej.

2. Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości 10 i 12. Dłuższa przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 stopni. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 30 mar 2009, o 16:09

1.

Ściany boczne to dwa przystające trójkąty prostokątne ADS i BCS (wylicz x z tw. Pitagorasa) oraz dwa trojkąty równoramienne - ABS o podstawie 6 i ramionach 5, CDS o podstawie 6 i ramionach x.

2.

Kąt między przekątną a płaszczyzną podstawy to kąt \(\displaystyle{ 45^0}\) po lewej na rysunku. Trójkąt ABC jest więc prostokątny i równoramienny wysokość graniastosłupa ma długość równą długości dłuższej przekątnej rombu czyli 12.
Pole podstawy (rombu) możesz policzyć bo znasz długości przekątnych ale nie możesz policzyć pola ścian bocznych - potrzebujesz długości boku rombu. Bok rombu policzysz z tw. Pitagorasa w żółtym trójkącie prostokątnym (przekątne w rombie są prostopadłe względem siebie i dzielą się na połowy).

noniewiem · Post autor: **noniewiem** » 30 mar 2009, o 17:29

hm dzięki ale może dało by się to jakoś inaczej na jakichś wzorach czy coś napisać?

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 30 mar 2009, o 17:33

Tutaj to tylko wzory na pole trójkąta i prostokąta
Bok rombu liczysz z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ x^2=5^2+6^2}\)

noniewiem · Post autor: **noniewiem** » 31 mar 2009, o 15:37

no dobra tylko ze ja nie wiem jak nawet zastosowac twierdzenie pitagorsaa do 1 zadania

Sherlock · Post autor: **Sherlock** » 31 mar 2009, o 17:32

W pierwszym zadaniu ściany boczne to:
- dwa identyczne trójkąty prostokątne ADS i BCS (rysunek 1). Pole wiadomo: \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6}\)
- kolejna ściana to trójkąt równoramienny ABS o ramionach 5 i podstawie 6. Pole możesz policzyć z wzoru Herona lub narysować wysokość i policzyć \(\displaystyle{ h_1}\) z tw. Pitagorasa (rysunek 2)
\(\displaystyle{ {h_1}^2+3^2=5^2}\)
- ostatnia ściana to też trójkąt równoramienny CDS (rysunek 3) ale o ramionach x i podstawie 6. Skąd wziąść x? Wróćmy do naszych ścian będących trójkątami prostokątnymi - x to przeciwprostokątna, tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ x^2=5^2+6^2}\)
Znając x możesz policzyć pole trójkąta CDS (wzór Herona lub znowu rysujemy wysokość \(\displaystyle{ h_2}\) i liczymy ją z tw. Pitagorasa: \(\displaystyle{ {h_2}^2+3^2=x^2}\) )

W drugim zadaniu liczymy bok rombu z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ 5^2+6^2=x^2}\)