Objętość, pole powierzchni walca

[eczekaj89]

cześć wszystkim, mam ogromną prośbę o rozwiązanie mi kilku zadań. Od tego zależy moje ukończenie klasy maturalnej:( Bardzo Was proszę, pomóżcie.. Pozostałe 15 zadań zrobiam sama, ale tych nie umiem..

1.Równolegle do osi walca poprowadzono płaszczyznę wyznaczającą na podstawach tego walca cięciwy, którym odpowiadają kąty środkowe \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) . odległość osi walca od tej płaszczyzny wynosi 2 cm, a wysokość walca ma długość 9 cm. Oblicz pole przekroju. (\(\displaystyle{ P= 12\sqrt{3}}\))

2. Wyznacz pole powierzchni całkowitej walca opisanego na sześcianie o krawędzi długości a.
\(\displaystyle{ P_c= \pi a^2 \left(1+ \sqrt{2}\right)}\)

3.Wysokość podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \(\displaystyle{ 6\sqrt{3} cm}\), a przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy graniastosłupa kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\). Graniastosłup ten wpisano w walec. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. (\(\displaystyle{ v=576\sqrt{3} \pi cm^3,\quad Pc=384 \pi cm^2}\)))

4. Średnica podstawy walca ma 14 cm długości, a długość wysokości walca jest równa 2 cm. w walec ten wpisano kwadrat w ten sposób, że po dwa jego wierzchołki leżą na okręgu odpowiednio dolnej i górnej podstawy. Oblicz długość boku tego kwadratu. (a=10cm)

-- 30 mar 2009, o 19:15 --

Zadanie 4 już rozwiązałam, najbardziej zależy mi na 1 i 3..

[Chromosom]

Hej;)
1. Bez rysunku będzie trudno, ale da się zrobić ;p wystarczy zauważyć, że mamy do czynienia z trójkątem równobocznym (wynika to z tego, że kąt pomiędzy dwoma promieniami podstawy ma miarę \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\)), którego wysokość wynosi 2. Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego mamy
\(\displaystyle{ 2=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ 4=a\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a=\frac{4sqrt{3}}{3}}\)
mamy więc jeden z boków prostokąta, drugi wynosi 9, więc pole przekroju wynosi
\(\displaystyle{ \frac{4\sqrt{3}}{3}*9=12\sqrt{3}}\).
2. Wysokość takiego walca wynosi a, promień wynosi \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\). Ze wzoru na pole powierzchni walca
\(\displaystyle{ P=2\pi r(r+h)=2\pi a\sqrt{2}(a\sqrt{2}+a)=2\pi a^2(1+\sqrt{2})}\)
3. Obliczamy długość boku podstawy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego.
\(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ a=12}\)
mamy więc długość boku trójkąta równobocznego... zauważmy, że trójkąt równoboczny składa się z trzech trójkątów równoramiennych o boku 6 oraz kątach 120, 30, 30. Obliczamy długość promienia z twierdzenia sinusów
\(\displaystyle{ \frac{r}{sin30}=\frac{12}{sin120}}\)
\(\displaystyle{ 2r=\frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ r=\frac{12}{\sqrt{3}}}\)
\(\displaystyle{ r=4\sqrt{3}}\)
wysokość obliczymy z funkcji trygonometrycznych
\(\displaystyle{ tg\frac{\pi}{3}=\frac{h}{12}}\)
\(\displaystyle{ sqrt{3}=\frac{h}{12}}\)
\(\displaystyle{ h=12\sqrt{3}}\)
objętość walca ze wzoru
\(\displaystyle{ V=\pi r^2h=\pi(4\sqrt{3})^2(12\sqrt{3})=\pi*48*12\sqrt{3}=576\sqrt{3}\pi}\)
pole powierzchni \(\displaystyle{ 2\pi(4\sqrt{3})(4\sqrt{3}+12\sqrt{3})=2\pi(48+144)=384\pi}\)
czyli wszystko zgadza się z Twoimi obliczeniami, jeśli jeszcze z czymś masz problem, pytaj... życzę powodzenia

[eczekaj89]

O boże nie wiem jak Ci dziękować! :)
A mogłabym jeszcze prosić o obliczenia do 4 zadania? bo chyba jednak źle to zrobiłam.

[Chromosom]

Nie ma problemu:)
4. szukamy takiego rozmieszczenia punktów, żeby długości boków były takie same
z przekształcenia twierdzenia Pitagorasa wiemy, że długość cięciwy okręgu (czyli tutaj boku kwadratu) można opisać wzorem \(\displaystyle{ l=2\sqrt{r^2-a^2}}\), gdzie a jest odległością od środka koła, w tym przypadku \(\displaystyle{ l=2\sqrt{49-a^2}}\)
wiemy też, że długość drugiego boku kwadratu będzie wynosić \(\displaystyle{ \sqrt{2\sqrt{49-b^2}+4}}\), gdzie b jest odległością od środka koła, a 4 kwadratem wysokości walca (pierwiastek z sumy kwadratów będzie drugim bokiem kwadratu)
wiemy też, że istnieje związek pomiędzy odległością od środka pierwszej oraz drugiej cięciwy
\(\displaystyle{ a^2+b^2=49}\)
układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases}2\sqrt{49-a^2}=\sqrt{2\sqrt{49-b^2}+4}\\b^2=49-a^2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 2\sqrt{49-a^2}=\sqrt{2\sqrt{49-49+a^2}+4}}\)
\(\displaystyle{ 2\sqrt{49-a^2}=\sqrt{2a+4}}\)
\(\displaystyle{ 4(49-a^2)=2a+4}\)
\(\displaystyle{ 196-4a^2-2a-4=0}\)
\(\displaystyle{ -4a^2-2a+192=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta=4+768=772}\)
\(\displaystyle{ x_1=\frac{2+\sqrt{772}}{-8}}\) to rozwiązanie jest błędne bo długość nie może być ujemna
\(\displaystyle{ x_2=\frac{2-\sqrt{772}}{-8} \approx 3,22}\)
można też inaczej - kwadrat o boku 2 będzie spełniał warunki zadania, będą to 2 cięciwy znajdujące się pionowo nad sobą w odległości od środka okręgu:
\(\displaystyle{ 2=\sqrt{7^2-a^2}}\)
\(\displaystyle{ 2=\sqrt{49-a^2}}\)
\(\displaystyle{ 4=49-a^2}\)
\(\displaystyle{ a=\sqrt{45}}\)
nie wiem tylko, czy kwadrat wpisany nie powinien przechodzić przez środek walca, pierwszy raz spotykam się zresztą z takim określeniem
wydaje mi się, że tak powinno być, ale nie jestem pewien... jeśli możesz, pokaż Twoje obliczenia

[eczekaj89]

Nie zgadza mi się wynik w 2 zadaniu.. powinno być bez tej 2 na początku. A czy r nie powinno wynosić \(\displaystyle{ a \frac{\sqrt{2}}{2}}\) ? Tyle mi wyszło, bo \(\displaystyle{ d=a \sqrt{2}}\), więc \(\displaystyle{ \frac{1}{2}d=r}\).

-- 30 mar 2009, o 21:17 --

Co do zadania 4 to nawet nie mam co wysyłać swoich obliczeń, bo zrobiłam to z pitagorasa i wiem, że jest źle. A wynik powinien wynieśc a=10cm.
Dzięki Ci wielkie za wszystko;D

[Chromosom]

Jeśli chodzi o drugie, popełniłem błąd, wysokość takiego walca to a, promień to \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{2}}{2}}\) czyli powierzchnia całkowita \(\displaystyle{ 2\pi \frac{a\sqrt{2}}{2}(a+\frac{a\sqrt{2}}{2})=\pi a^2 +\pi a^2\sqrt{2}=\pi a^2(1+\sqrt{2})}\)
czyli masz dobrze
jeśli chodzi o 4, nie chciałbym wprowadzić w błąd, bo poza tym, co zrobiłem, nie mam żadnego pomysłu

[eczekaj89]

Ok, dziękuje Ci bardzo bardzo bardzo:) bez zadania 4 się obejdzie te 3, które zrobiłeś były najważniejsze dla mnie:* dziękuje!!

[anna_]

4. Może komuś się przyda


\(\displaystyle{ \begin{cases} {h^2 + (2r - 2x)^2 = a^2\\(r - x)^2 + (\frac{1}{2}a)^2 = r^2 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 2^2 + (14 - 2x)^2 = a^2\\(7 - x)^2 + (\frac{1}{2}a)^2 = 7^2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=10\\x=7+2\sqrt6 \end{cases}}\)
lub
\(\displaystyle{ \begin{cases} a=10\\x=7-2\sqrt6 \end{cases}}\)