Witam,
Jestem maturzystą i od tego zależy czy napiszę maturę w tym roku (czy mnie dopuszczą) proszę o pomoc z następującymi zadaniami (jeżeli to możliwe to proszę "jak krowie na rowie" ) :
1. Powierzchnią boczną stożka jest wycinek koła o kącie \(\displaystyle{ \alpha}\) i promieniu 15 cm. Podstawę tego stożka można wyciąć z kwadratu o boku 6 cm. Wyznacz największą możliwą miarę kąta alfa.
2. Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt prostokątny o polu 49 cm2. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.
3. Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(\displaystyle{ 30 ^{0}}\), a jego wysokość jest równa 4 cm. Oblicz pole podstawy tego stożka \(\displaystyle{ (ctg 75 ^{0} = 2- \sqrt{3} ).}\)
Jeżeli te zadania są już na forum i je przoczyłem to proszę tylko o info, że są lub linka.
Z góry wielkie dzięki.
Stożek - kąty / objętość - szkoła średnia
Stożek - kąty / objętość - szkoła średnia
sugarxy pisze:Witam,
Jestem maturzystą i od tego zależy czy napiszę maturę w tym roku (czy mnie dopuszczą) proszę o pomoc z następującymi zadaniami (jeżeli to możliwe to proszę "jak krowie na rowie" ) :
1. Powierzchnią boczną stożka jest wycinek koła o kącie \(\displaystyle{ \alpha}\) i promieniu 15 cm. Podstawę tego stożka można wyciąć z kwadratu o boku 6 cm. Wyznacz największą możliwą miarę kąta alfa.
2. Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt prostokątny o polu 49 cm2. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka.
3. Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(\displaystyle{ 30 ^{0}}\), a jego wysokość jest równa 4 cm. Oblicz pole podstawy tego stożka \(\displaystyle{ (ctg 75 ^{0} = 2- \sqrt{3} ).}\)
Jeżeli te zadania są już na forum i je przoczyłem to proszę tylko o info, że są lub linka.
Z góry wielkie dzięki.
%
\(\displaystyle{ Ad.1) \ Zauwaz \ ze \ promien \ okregu \ wycietego \ z \ kwadratu \ o \ boku \ = \ 6 \ ,}\)
\(\displaystyle{ jest \ rowny \ polowie \ jego \ boku \ . \ Jest \ to \ bowiem \ okrag \ wpisany \ w \ kwadrat \ .}\)
\(\displaystyle{ W \ zwiazku \ z \ powyzszym \ dlugosc \ tego \ okregu \ jest \ rowna \ 6\pi \ [cm^{2}]}\)
\(\displaystyle{ Dlugosc \ luku \ powierzchni \ bocznej \ badanego \ stozka \ wynosi \ : \ \frac{1}{13} \alpha \cdot \pi}\)
\(\displaystyle{ Zauwaz \ ze \ obie \ wartosci \ sa \ sobie \ rowne \ .}\)
\(\displaystyle{ Wowczas \ : \ \alpha \ = \ 108^{o} \ .}\)
_____________________________
\(\displaystyle{ Ad.2) \ Zauwaz \ ze \ podwojona \ powierzchnia \ przekroju \ poprzecznego \ stozka \ jest \ kwadratem \ .}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ 2 \cdot 49 \ = \ l^{2} \ \Leftrightarrow \ |l| \ = \ 7 \sqrt2 \ [cm]}\)
\(\displaystyle{ Wowczas \ przekatna \ kwadratu \ jest \ rowna \ srednicy \ kola \ bedacego \ podstawa \ stozka \ .}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow \ r \ = \ \frac {7 \cdot \sqrt2 \cdot \sqrt2}{2} \ = \ 7 \ [cm]}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ S_{podstawy} \ = \ 49\pi \ [cm^{2}]}\)
\(\displaystyle{ S_{powierzchni \ bocznej \ stozka } \ = \ \pi \cdot r \cdot l \ = \ 49\sqrt2 \pi \ [cm^{2}]}\)
\(\displaystyle{ S_{calkowita \ stozka} \ = \ 49\pi \left(1 \ + \ \sqrt2 \right) \ [cm^{2}] \ .}\)
__________________________________________________
\(\displaystyle{ Ad.3) \ Z \ danego \ stozka \ "wyrysowujemy" \ trojkat \ ,}\)
\(\displaystyle{ w \ ktorym \ jedna \ przyprostokatna \ to \ H_{stozka} \ , \ druga \ to \ r_{podstawy \ stozka} \ .}\)
\(\displaystyle{ Kat \ pomiedzy \ tworzaca \ (przeciwprostokatna) \ a \ r_{podstawy \ stozka} \ wynosi \ : \ 75^{o} \ .}\)
\(\displaystyle{ Na \ podstawie \ funkcji \ trygonometrycznych \ ustalamy \ ze \ :}\)
\(\displaystyle{ \frac {r_{podstawy \ stozka}}{H_{stozka}} \ = \ ctg75^{o}}\)
\(\displaystyle{ Poniewaz \ w \ zadaniu \ podano \ wartosc \ liczbowa \ funkcji \ ctgx \ dla \ argumentu \ x=75^{o}}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ r_{podstawy \ stozka } \ = \ 4 \cdot \left( 2 \ - \ \sqrt3\right) \ [cm]}\)
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow \ S_{podstawy \ stozka } \ = \ 16 \left( 2 \ - \ \sqrt3 \right)^{2} \pi \ [cm^{2}] \ .}\)
_______________________________________________________