O stożku i płaszczyźnie

[adamadam90]

Mam problem z takim zadaniem, pewnie proste tylko ja nie mam na nie żadnej koncepcji

Dany jest stożek o objętości \(\displaystyle{ \vee}\) , którego tworząca jest nachylona do podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\). Stożek ten przecięto płaszczyzną prostopadłą do osi stożka i połowiącą powierzchnie boczną stożka. Znajdź odległość wierzchołka stożka od tej płaszczyzny.

[piotrekgabriel]

\(\displaystyle{ \pi RL=2\pi rl}\), a skoro \(\displaystyle{ l=\frac{r}{cos\alpha}}\) i \(\displaystyle{ L=\frac{R}{cos\alpha}}\), to
\(\displaystyle{ \frac{R^{2}}{cos\alpha}=\frac{2r^{2}}{cos\alpha}}\), skąd widać, że \(\displaystyle{ R=\sqrt{2}r}\)

Stożki są podobne, mają więc proporcjonalne długości boków i wysokości, stąd \(\displaystyle{ H=\sqrt{2}h}\), czyli szukana odległość \(\displaystyle{ D=H-h=(1-\frac{\sqrt{2}}{2})H}\)

Skoro \(\displaystyle{ V=\frac{\pi R^{2}H}{3}}\), a \(\displaystyle{ R=Hctg\alpha}\), to \(\displaystyle{ H^{3}=\frac{3V}{ctg^{2}\alpha}}\), czyli \(\displaystyle{ H= \sqrt[3]{\frac{3V}{ctg^{2}\alpha}}}\)

Podstaw to H do wzoru na D