Ostrosłup 6-kątny prawidłowy - oblicz V i Pc

Mima · Post autor: **Mima** » 29 mar 2009, o 17:01

Ponieważ jestem matematycznym głąbem, prosiłabym o wytłumaczenie mi po kolei co się robi w zadaniach takiego typu:

1. Ściana boczna jest nachylona do podstawy ostrosłupa 6-kątnego prawidłowego pod kątem pi/3 (60). Dane: h. Oblicz V i Pc.

piotrekgabriel · Post autor: **piotrekgabriel** » 29 mar 2009, o 20:22

Najpierw rysunek. Sześciokąt w podstawie składa się z sześciu trójkątów równobocznych, kąt 60 dany w treści to kąt między wysokością jednego z tych trójkątów a wysokością ściany bocznej.

Masz więc trójkąt prostokątny, który składa się z wysokości ostrosłupa, wysokości ściany bocznej i wysokości trójkąta równobocznego w podstawie. [do tego trójkąta jeszcze później wrócę, nazwijmy go ABC]

Z trygonometrii wyliczasz wysokość trójkata w podstawie, jednocześnie wiesz, że jest ona zapisywana wzorem \(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\), gdzie a to długość boku. Dzięki temu możesz wyliczyć długość boku.

Mając a możesz wyliczyć pole podstawy (6 trójkątów rownobocznych, każdy ma pole \(\displaystyle{ P=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}}\).

Objętość \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_{p}h}\) - teraz już wszystko masz.

* * *

Pole całkowite to pole podstawy (już wyliczone) i pole sześciu ścian bocznych. Pola ścian bocznych wyliczysz ze wzoru na pole trójkąta, podstawą każdego jest krawędź podstawy a, wysokość każdego jest przeciwprostokątną trójkąta ABC (więc z trygonometrii jestes w stanie ją wyliczyć)

Uff, mam nadzieję, że nie nagmatwałem w razie czego, pytaj

Mima · Post autor: **Mima** » 29 mar 2009, o 21:57

Hm... czyli na dzień dobry obliczamy a ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym?

Aby obliczyć wysokość ściany bocznej (trójkąta) należy skorzystać z faktu, iż tangens alfa (pierwiastek z trzech przez trzy) jest równy wysokości ostrosłupa oraz wysokości trójkąta równobocznego (w podstawie)?

piotrekgabriel · Post autor: **piotrekgabriel** » 29 mar 2009, o 22:12

Prościej: cosinus kąta alfa to wysokość trojkąta równobocznego w podstawie do wysokości ściany bocznej \(\displaystyle{ cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}}\)

Mima · Post autor: **Mima** » 29 mar 2009, o 22:18

Z trygonometrii wyliczasz wysokość trójkata w podstawie, jednocześnie wiesz, że jest ona zapisywana wzorem...

Z trygonometrii? Po co, skoro mogę zastosować normalny wzór? I pytanie: na podstawie jakiej zasady z trygonometrii?

piotrekgabriel · Post autor: **piotrekgabriel** » 29 mar 2009, o 22:29

W 'czarnym' trójkącie \(\displaystyle{ ctg\alpha=\frac{h_{ostrosłupa}}{h_{trojk.rownobocznego}}}\), w 'szarym' używamy wzoru na wysokość do wyliczenia a.

Mima · Post autor: **Mima** » 29 mar 2009, o 22:41

O kapuję zajarzyłam o co biega, rysunek wystarczył, dziękuję. Co do cosinusa, to nie ma być przypadkiem cos pi/6?

piotrekgabriel · Post autor: **piotrekgabriel** » 29 mar 2009, o 22:44

Nie, kąt alfa masz między podstawą a przeciwprostokątną czarnego trójkąta. Alfa jest równy pi/3

Mima · Post autor: **Mima** » 29 mar 2009, o 22:46

Dobra, to już wszystko wiem Trochę tego liczenia, ale chyba wszystko jakoś wyjdzie. Dziękuję