ostrosłupprawidłowy czworokątny
-
kakaona
- Użytkownik
- Posty: 178
- Rejestracja: 6 mar 2009, o 19:48
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 33 razy
ostrosłupprawidłowy czworokątny
Krawędź podstawy ostrosłupa czworokątnego ma długość 6 cm. Kąt, który tworzy krawędź boczna z wysokością ostrosłupa ma miarę \(\displaystyle{ \frac{ \pi}{6}}\). Przez wierzchołek ostrosłupa poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do przeciwległej krawędzi bocznej. Oblicz pole otrzymanego przekroju.
-
Majk
- Użytkownik
- Posty: 32
- Rejestracja: 10 mar 2009, o 20:31
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 6 razy
ostrosłupprawidłowy czworokątny
Zakladam, ze ostroslup jest prawidlowy, inaczej tego nie da sie policzyc. Albo to ja jestem uposledzony i nie umiem :>
\(\displaystyle{ \pi /6}\) jest równe 30 stopni, zatem od jednego ramienia do przeciwnego bedzie 60 stopni, dzieki temu wiemy, ze trojkat, ktory jest przekrojem ostroslupa wzdloz przekatnej podstawy, to trojkat rownoboczny.
Teraz sprobujmy sobie wyobrazic, jak ma wygladac przekroj bryly.
Plaszczyzna musi przechodzic przez wierzcholek podstawy, inaczej sie tego nie da wyrysowac.
Przekrojem jest figura w ksztalcie deltoidu. Suma przekatnych w deltoidzie dzielona na dwa to pole.
Szukamy wiec dlugosci \(\displaystyle{ AG}\) i \(\displaystyle{ HF}\)
Do ich obliczenia posluza nam przekroje bryly wzdloz przekatnych podstawy. \(\displaystyle{ AG}\) to wysokosc jednego z przekrojow, dodatkowo wiemy, ze wysokosci w trojkacie rownobocznym przecinaja sie w stosunku 2:1.
\(\displaystyle{ AC = 6\sqrt{2}}\)
Wysokosc w trojkacie rownobocznym ACE jest rowna \(\displaystyle{ (|AC| \sqrt{3}) /2}\) czyli \(\displaystyle{ (6 \sqrt{2} \sqrt{3}) /2}\) po skroceniu \(\displaystyle{ 3 \sqrt{6}}\)
HF przecina wysokosc w tym samym punkcie, co AG, ponadto wiemy, ze AG jest wysokoscia, zatem w drugim przekroju HF bedzie oddalone od wierzcholka E o \(\displaystyle{ 2/3}\) wysokosci. Zatem wysokosc w trojkacie EHF to \(\displaystyle{ (2/3) AG}\), bo AG jest wysokoscia przekroju.
Dlugosc HF mozemy policzyc z twierdzenia talesa, pitagorasa, albo z podobienstwa trojkatow wiedzac, ze wysokosc EHF to \(\displaystyle{ 2 \sqrt{6}}\).
\(\displaystyle{ 2x = HF}\)
\(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{6}}{3 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{6}} {x}}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ HF = 2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ P = (1/2) \ |AG| \ |HF| = (1/2)(3 \sqrt{6} )(2 \sqrt{2} ) = 6 \sqrt{3}}\)
Nie mialem czasu sprawdzic obliczen, troszke namieszalem, ale mysle, ze sie polapiesz
\(\displaystyle{ \pi /6}\) jest równe 30 stopni, zatem od jednego ramienia do przeciwnego bedzie 60 stopni, dzieki temu wiemy, ze trojkat, ktory jest przekrojem ostroslupa wzdloz przekatnej podstawy, to trojkat rownoboczny.
Teraz sprobujmy sobie wyobrazic, jak ma wygladac przekroj bryly.
Plaszczyzna musi przechodzic przez wierzcholek podstawy, inaczej sie tego nie da wyrysowac.
Przekrojem jest figura w ksztalcie deltoidu. Suma przekatnych w deltoidzie dzielona na dwa to pole.
Szukamy wiec dlugosci \(\displaystyle{ AG}\) i \(\displaystyle{ HF}\)
Do ich obliczenia posluza nam przekroje bryly wzdloz przekatnych podstawy. \(\displaystyle{ AG}\) to wysokosc jednego z przekrojow, dodatkowo wiemy, ze wysokosci w trojkacie rownobocznym przecinaja sie w stosunku 2:1.
\(\displaystyle{ AC = 6\sqrt{2}}\)
Wysokosc w trojkacie rownobocznym ACE jest rowna \(\displaystyle{ (|AC| \sqrt{3}) /2}\) czyli \(\displaystyle{ (6 \sqrt{2} \sqrt{3}) /2}\) po skroceniu \(\displaystyle{ 3 \sqrt{6}}\)
HF przecina wysokosc w tym samym punkcie, co AG, ponadto wiemy, ze AG jest wysokoscia, zatem w drugim przekroju HF bedzie oddalone od wierzcholka E o \(\displaystyle{ 2/3}\) wysokosci. Zatem wysokosc w trojkacie EHF to \(\displaystyle{ (2/3) AG}\), bo AG jest wysokoscia przekroju.
Dlugosc HF mozemy policzyc z twierdzenia talesa, pitagorasa, albo z podobienstwa trojkatow wiedzac, ze wysokosc EHF to \(\displaystyle{ 2 \sqrt{6}}\).
\(\displaystyle{ 2x = HF}\)
\(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{6}}{3 \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{6}} {x}}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ HF = 2 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ P = (1/2) \ |AG| \ |HF| = (1/2)(3 \sqrt{6} )(2 \sqrt{2} ) = 6 \sqrt{3}}\)
Nie mialem czasu sprawdzic obliczen, troszke namieszalem, ale mysle, ze sie polapiesz