Oblicz objętosć bryły.

Mruczek · Post autor: **Mruczek** » 27 mar 2009, o 12:45

Dany jest trapez, którego podstawy mają długość a=8cm i b=4cm, zaś kąty przy dłuższej podstawie mają miary 60 i 30 stopni. Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu tego trapezu wokół osi zawierającej jego dłuższe ramię (to zadanie było dzisiaj na III etapie konkursu matematycznego w woj. lubelskim).

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 27 mar 2009, o 13:20

sprawdź wszyskie rachunki, czasem się mylę...

bryła, która powstanie składa się z dwóch stożków i walca, który je rozdziela. potrzebny jest promień walca (i jednocześnie każdego z obu stożków). z wierzchołka przy dłuższym ramieniu (to przy mniejszym kącie u podstawy) poprowadźmy prostą równoległą do drugiego ramienia. powstaje tr. prostokątny o przeciwprostokątnej 4 i kątach 30,60. wysokość tego tr. opuszczona z wierzchołka kata prostego jest szukanym promieniem. nietrudno sprawdzić, że wynosi on \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\), a sama wysokość dzieli przeciwprostokątną na odcinki o długościach 1 i 3 - są to wysokości odp. stożków. teraz \(\displaystyle{ V=\pi(4\cdot 3+\frac{1}{3}\cdot 1\cdot 3 +\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 3)=16\pi}\).
=== korekta ==
no tak, to głupota... nieuważnie przeczytałem, chodził o dłuższe ramię, nie podstawę. ale to też nie jest trudne. ze względu na prostopadłość krótszego ramienia do dłuższego - wskazaną poprzednio - powstała bryła będzie stożkiem z wydrążonym małym stożkiem. przedłużamy ramiona do przecięcia - jak pokazałem, powstanie tr. prostokątny o przeciwprostok. 8 i kątach 30, 60. obracamy go wokół dłuższej przyprostok. wysokość powstałego stożka to \(\displaystyle{ 4\sqrt{3}}\), promień zaś 4, czyli jego objętość to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}64\sqrt{3}}\). od tego należy odjąć objętość mniejszego stożka, podobnego do dużego w skali 1:2 (odpowiedni tr. ma 2 razy krótszą przeciwprostokątną). jego objętość to jest równa 1/8 obj. dużego stożka, zatem odpowiedź brzmi: objętość szukanej bryły to \(\displaystyle{ \frac{7}{8}\cdot\frac{\pi}{3}64\sqrt{3}= \frac{28\pi\sqrt{3}}{3}}\)
=== korekta ===
7*8=56 czyli zamiast 28 jest 56 - patrz uwaga poniżej.

Mruczek · Post autor: **Mruczek** » 27 mar 2009, o 13:34

@ klaustrofob - Wydaje mi się, że zrobiłeś to zadanie dla bryły która powstanie, gdy trapez obraca się wokół dłuższej podstawy.

Dzięki, ale chyba wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{56 \sqrt{3} \pi}{3}}\).

klaustrofob · Post autor: **klaustrofob** » 27 mar 2009, o 13:36

tak, nieuważnie przeczytałem. ale pod spodem poprawiłem