Oblicz objętość...

[Klaudia007]

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym długość krawędzi bocznej wynosi 12 cm, a
kat między krawędzią boczną tego ostrosłupa a wysokością ma miarę 30 stopni. Oblicz
objętość tego ostrosłupa.

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ a, H}\) oznaczają długość krawędzi podstawy oraz długość wysokości ostrosłupa odpowiednio. Z założenia i z definicji sinusa i kosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}=\sin 30^{o}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{12 cm}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}=\cos 30^{o}=\frac{H}{12 cm}}\). Stąd wynika, że \(\displaystyle{ a=H=6\sqrt{3} cm}\).
Zatem ze wzoru na objętość ostrosłupa dostajemy \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}=162 cm^3}\).