Zadanie graniastosłup
-
LordJuvent
- Użytkownik
- Posty: 19
- Rejestracja: 8 lis 2007, o 10:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 1 raz
Zadanie graniastosłup
Podstawa graniastosłupa prostego to trójkąt prostokątny równoramienny.Kąt między przekątnymi scian prostopadłych do siebie ma miare 60 stopni. wiedzac że objętość tego graniastosłupa to 36 cm3 oblicz jego pole.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Zadanie graniastosłup
Niech \(\displaystyle{ a, b, d, h}\) oznaczają krótszą i dłuższą krawędź podstawy, przekątną każdej z mniejszych ścian bocznych (są one przystające) oraz wysokość graniastosłupa odpowiednio. Łatwo widać, że \(\displaystyle{ b=a\sqrt{2}}\). Ponadto z założenia i twierdzenia kosinusów mamy
Stąd i ze wzoru na objętość graniastosłupa wynika, że \(\displaystyle{ 36=\frac{a^2}{2}\cdot h=\frac{a^3}{2}}\), więc \(\displaystyle{ a=2\sqrt[3]{9}}\).
Zatem pole powierzchni granistosłupa wynosi \(\displaystyle{ P=2\cdot\frac{a^2}{2}+(a+a+b)h=a^2+a(2a+a\sqrt{2})=a^2(3+\sqrt{2})=12\sqrt[3]{3}(3+\sqrt{2}) cm^2}\).
\(\displaystyle{ b^2=2d^2(1-\cos 60^{o})=d^2}\),
więc \(\displaystyle{ d=b=a\sqrt{2}}\). (Równość te uzyskamy też zauważając, że trójkat o bokach b, d, d jest równoboczny - jest on równoramienny i kąt między ramionami ma miarę \(\displaystyle{ 60^{o}}\).) W konsekwencji z twierdzenia Pitagorasa łatwo dostajemy, że \(\displaystyle{ h=a}\).Stąd i ze wzoru na objętość graniastosłupa wynika, że \(\displaystyle{ 36=\frac{a^2}{2}\cdot h=\frac{a^3}{2}}\), więc \(\displaystyle{ a=2\sqrt[3]{9}}\).
Zatem pole powierzchni granistosłupa wynosi \(\displaystyle{ P=2\cdot\frac{a^2}{2}+(a+a+b)h=a^2+a(2a+a\sqrt{2})=a^2(3+\sqrt{2})=12\sqrt[3]{3}(3+\sqrt{2}) cm^2}\).