Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości \(\displaystyle{ a}\). Jedna z krawędzi bocznych jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, zaś pozostałe krawędzie boczne są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ \alpha}\).
a) Wyznacz pole największej ściany bocznej tego ostrosłupa.
b) Wyznacz taki kąt nachylenia największej ściany bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa, aby pole tej ściany było równe sumie pól pozostałych ścian bocznych.
Ostrosłup prawidłowy - ściany boczne
-
piotrekgabriel
- Użytkownik
- Posty: 185
- Rejestracja: 20 lut 2009, o 17:28
- Płeć: Mężczyzna
- Pomógł: 35 razy
Ostrosłup prawidłowy - ściany boczne
Wysokość ostrosłupa to \(\displaystyle{ H=a tg\alpha}\), wysokość podstawy do \(\displaystyle{ h=\frac{a\sqrt{3}}{2}}\)
Dwie ściany boczne są prostopadłe do podstawy i mają pole \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}aH}\). Trzecia ściana ma wysokość \(\displaystyle{ H_{x}}\) liczoną z pitagorasa: \(\displaystyle{ H_{x}=\sqrt{h^{2}+H^{2}}}\). Pole trzeciej ściany bocznej to \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}a\sqrt{h^{2}+H^{2}}}\)
Łatwo stwierdzić, że ta trzecia ściana ma pole większe od pozostalych dwóch. Podstawiasz H i h do wzoru na jej pole i masz.
b)
\(\displaystyle{ 2\cdot\frac{1}{2}aH=\frac{1}{2}a\sqrt{h^{2}+H^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 2H=\sqrt{h^{2}+H^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 3H^{2}=h^{2}}\)
\(\displaystyle{ 3a^{2}tg^{2}\alpha = \frac{3}{4}a^{2}}\)
\(\displaystyle{ tg^{2}\alpha=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{1}{2} \vee tg\alpha=-\frac{1}{2}}\)
Dwie ściany boczne są prostopadłe do podstawy i mają pole \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}aH}\). Trzecia ściana ma wysokość \(\displaystyle{ H_{x}}\) liczoną z pitagorasa: \(\displaystyle{ H_{x}=\sqrt{h^{2}+H^{2}}}\). Pole trzeciej ściany bocznej to \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}a\sqrt{h^{2}+H^{2}}}\)
Łatwo stwierdzić, że ta trzecia ściana ma pole większe od pozostalych dwóch. Podstawiasz H i h do wzoru na jej pole i masz.
b)
\(\displaystyle{ 2\cdot\frac{1}{2}aH=\frac{1}{2}a\sqrt{h^{2}+H^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 2H=\sqrt{h^{2}+H^{2}}}\)
\(\displaystyle{ 3H^{2}=h^{2}}\)
\(\displaystyle{ 3a^{2}tg^{2}\alpha = \frac{3}{4}a^{2}}\)
\(\displaystyle{ tg^{2}\alpha=\frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{1}{2} \vee tg\alpha=-\frac{1}{2}}\)