Obliczanie V ostrosłupa mając dane kąty

[Mateusz Kempa]

Witam,

Proszę o rozwiązanie zadania, bo nie umiem dać sobie rady:

Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego 4-kątnego o krawędzi podstawy a mając dane:
a) kąt dwuścienny przy podstawie α
b) kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy β
c) kąt płaski przy wierzchołku ostrosłupa δ
d) kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi λ

Z góry dziękuję i pozdrawiam.

[Yrch]

ad a)
Oblicz sobie dl. wysokosci podstawy, potem uzywajac f.trygonometrycznej tego kata (bodajrze tangensa ) i jednej trzeciej tej wysokosci podstawy wylicz sobie wysokosc calego ostroslupa wtedy bedziesz mial juz wszystko.(mam nadzieje, ze dobrze zrozumialem, ze chodzi o ostroslup prawidlowy o podstawie bedacej trojkatem rownobocznym? )
ad b)
Dokladnie tak jak w a) bierzesz wysokosc podstawy (dokladnie to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) tej podstawy) i wylicasz H tym razem z tangensa podanego kata.
ad c)
Opuszcza wysokosc sciany bocznej z wierzcholka na krawedz podstawy, bierzesz polowe danego kata i z f.trygonometrycznej oraz polowy dl krawedzi obliczasz kawedz boczna. Potem bierzesz znow \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) dl wysokosci podstawy oraz dl krawedzi bocznej i z pitagorasa liczysz H ostroslupa.
ad d)
Tu sie zacinam w pewnym momencie ale jak zaraz wpadne co dalej to wysle odpowiedz

[DEXiu]

Hmm. Yrch odnoszę wrażenie, że jednak źle zrozumiałeś O ile dobrze widzę chodzi o ostrosłup czworokątny czyli w podstawie jest kwadrat. A zatem:
a) \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot a^{2}\cdot\frac{a}{2}tg\alpha}\)
b) \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot a^{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}}{2}tg\beta}\)
c) \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot a^{2}\cdot\sqrt{(\frac{a}{2}ctg\frac{\delta}{2})^{2}-(\frac{a}{2})^{2}}}\)
d) \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot a^{2}\cdot\frac{a\sqrt{2}ctg\frac{\lambda}{2}}{2\sqrt{1-ctg^{2}\frac{\lambda}{2}}}}\)
Nie pytaj jak doszedłem do tego ostatniego wzoru Mam tylko nadzieję, że nigdzie się nie pomyliłem w obliczeniach i przy przepisywaniu.