Dana jest kula,której pole powierzchni wynosi 100 Pi cm kwadrat. Oblicz objętość tej kuli??
Nie bardzo pamiętam jak to się robi więc proszę o pomoc.
kula o danej powierzchni, oblicz objetość.
-
patrycja350
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 20 mar 2009, o 09:34
- Płeć: Kobieta
kula o danej powierzchni, oblicz objetość.
Ostatnio zmieniony 20 mar 2009, o 17:01 przez Justka, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Jeden wyraz na nazwę tematu to zdecydowanie za mało. Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by lepiej wskazywały o czym może być treść zadania.
Powód: Jeden wyraz na nazwę tematu to zdecydowanie za mało. Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by lepiej wskazywały o czym może być treść zadania.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
kula o danej powierzchni, oblicz objetość.
Jak nie pamiętasz wzorów na pole powierzchni sfery i objętośc kuli to spróbujemy je scałkować
Pole powierzcni sfery
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{R^2-x^2}}\)
funkcja której wykresem jest połowa okręgu
\(\displaystyle{ S=2\pi \int_{-R}^{R} f(x) \sqrt{1+f'(x)^2}}\)
całka oznaczona której wynikiem jest pole powierzchni bocznej bryły obrotowej
Objętość kuli
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{R^2-x^2}}\)
funkcja której wykresem jest połowa okręgu
\(\displaystyle{ V=\pi \int_{-R}^{R} {f^{2}(x)}}\)
całka oznaczona której wynikiem jest objętość bryły obrotowej
Obliczmy pole powierzchni sfery
\(\displaystyle{ S= 2\pi\int_{-R}^{R}{ \sqrt{R^2-x^2} \sqrt{1+ \frac{x^2}{R^2-x^2} } }}\)
\(\displaystyle{ S= 2\pi\int_{-R}^{R}{ \sqrt{R^2-x^2} \frac{ \sqrt{R^2-x^2+x^2} }{ \sqrt{R^2-x^2} } }}\)
\(\displaystyle{ S= 2\pi\int_{-R}^{R}{ \sqrt{R^2}}}\)
\(\displaystyle{ S= 2\pi\int_{-R}^{R}{ R}}\)
\(\displaystyle{ S= 2\pi\left(Rx \right)|_{-R}^{R}}\)
\(\displaystyle{ S=2\pi \left( R^2+R^2\right)}\)
\(\displaystyle{ S=4\pi R^2}\)
Obliczmy objętość kuli
\(\displaystyle{ V= \pi\int_{-R}^{R}{R^2-x^2}}\)
\(\displaystyle{ V= \pi\ \left( R^2x- \frac{x^3}{3} \right)|_{-R}^{R}}\)
\(\displaystyle{ V= \pi\ \left( R^3+R^3- \left( \frac{R^3}{3} + \frac{R^3}{3} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ V= \pi\ \left( 2R^3- \frac{2R^3}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ V= \pi\ \left( \frac{4R^3}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{4\pi}{3}R^3}\)
No i teraz zadanie staje się łatwe
\(\displaystyle{ 4\pi R^2=100 \pi}\)
\(\displaystyle{ R^2=25}\)
\(\displaystyle{ R=5}\)
\(\displaystyle{ \frac{4\pi}{3}R^3= \frac{500\pi}{3}}\)
Pole powierzcni sfery
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{R^2-x^2}}\)
funkcja której wykresem jest połowa okręgu
\(\displaystyle{ S=2\pi \int_{-R}^{R} f(x) \sqrt{1+f'(x)^2}}\)
całka oznaczona której wynikiem jest pole powierzchni bocznej bryły obrotowej
Objętość kuli
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{R^2-x^2}}\)
funkcja której wykresem jest połowa okręgu
\(\displaystyle{ V=\pi \int_{-R}^{R} {f^{2}(x)}}\)
całka oznaczona której wynikiem jest objętość bryły obrotowej
Obliczmy pole powierzchni sfery
\(\displaystyle{ S= 2\pi\int_{-R}^{R}{ \sqrt{R^2-x^2} \sqrt{1+ \frac{x^2}{R^2-x^2} } }}\)
\(\displaystyle{ S= 2\pi\int_{-R}^{R}{ \sqrt{R^2-x^2} \frac{ \sqrt{R^2-x^2+x^2} }{ \sqrt{R^2-x^2} } }}\)
\(\displaystyle{ S= 2\pi\int_{-R}^{R}{ \sqrt{R^2}}}\)
\(\displaystyle{ S= 2\pi\int_{-R}^{R}{ R}}\)
\(\displaystyle{ S= 2\pi\left(Rx \right)|_{-R}^{R}}\)
\(\displaystyle{ S=2\pi \left( R^2+R^2\right)}\)
\(\displaystyle{ S=4\pi R^2}\)
Obliczmy objętość kuli
\(\displaystyle{ V= \pi\int_{-R}^{R}{R^2-x^2}}\)
\(\displaystyle{ V= \pi\ \left( R^2x- \frac{x^3}{3} \right)|_{-R}^{R}}\)
\(\displaystyle{ V= \pi\ \left( R^3+R^3- \left( \frac{R^3}{3} + \frac{R^3}{3} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ V= \pi\ \left( 2R^3- \frac{2R^3}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ V= \pi\ \left( \frac{4R^3}{3} \right)}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{4\pi}{3}R^3}\)
No i teraz zadanie staje się łatwe
\(\displaystyle{ 4\pi R^2=100 \pi}\)
\(\displaystyle{ R^2=25}\)
\(\displaystyle{ R=5}\)
\(\displaystyle{ \frac{4\pi}{3}R^3= \frac{500\pi}{3}}\)
Ostatnio zmieniony 20 mar 2009, o 20:07 przez Mariusz M, łącznie zmieniany 1 raz.
-
patrycja350
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 20 mar 2009, o 09:34
- Płeć: Kobieta
kula o danej powierzchni, oblicz objetość.
Omg to chyba nie może być tak,bo ja nigdy czegoś takiego nie miałam.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
kula o danej powierzchni, oblicz objetość.
To z całkami możesz ominąćpatrycja350 pisze:Omg to chyba nie może być tak,bo ja nigdy czegoś takiego nie miałam.
Ja tylko chciałem za pomocą całek wyprowadzić wzór na pole powierzchni sfery
i objętość kuli (tak dla przypomnienia)
Jeżeli jeszcze całek nie miałaś to lepiej omiń wyprowadzanie wzorów i
skorzystaj z gotowych tych co ja wyprowadziłem