kąt między tworzącą i wysokością stożka
-
skowron6
- Użytkownik
- Posty: 159
- Rejestracja: 6 sie 2008, o 15:13
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kłodzko
- Podziękował: 47 razy
kąt między tworzącą i wysokością stożka
Pole przekroju osiowego stożka jest \(\displaystyle{ \pi \sqrt{3}}\) razy mniejsze od pola powierzchni całkowitej. Wyznacz miarę kąta zawartego między tworzącą, a wysokością tego stożka.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
kąt między tworzącą i wysokością stożka
Niech \(\displaystyle{ h, r, l}\) oznaczają odpowiednio wysokość, promień podstawy i tworzącą stożka.
Z założenia mamy \(\displaystyle{ \pi r^2+\pi rl=\pi\sqrt{3}\cdot\frac{2rh}{2}=\pi\sqrt{3} rh}\), czyli \(\displaystyle{ r+l=h\sqrt{3}}\), tj. \(\displaystyle{ l=h\sqrt{3}-r}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa wynika, że \(\displaystyle{ 3h^2-2\sqrt{3} hr+r^2=h^2+r^2}\), tzn. \(\displaystyle{ 2h^2-2\sqrt{3} hr=0}\). Zatem \(\displaystyle{ h=r\sqrt{3}}\), więc \(\displaystyle{ \cot\alpha=\frac{h}{r}=\sqrt{3}}\). Szukany kąt ma miarę \(\displaystyle{ \alpha=30^{o}}\).
Z założenia mamy \(\displaystyle{ \pi r^2+\pi rl=\pi\sqrt{3}\cdot\frac{2rh}{2}=\pi\sqrt{3} rh}\), czyli \(\displaystyle{ r+l=h\sqrt{3}}\), tj. \(\displaystyle{ l=h\sqrt{3}-r}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa wynika, że \(\displaystyle{ 3h^2-2\sqrt{3} hr+r^2=h^2+r^2}\), tzn. \(\displaystyle{ 2h^2-2\sqrt{3} hr=0}\). Zatem \(\displaystyle{ h=r\sqrt{3}}\), więc \(\displaystyle{ \cot\alpha=\frac{h}{r}=\sqrt{3}}\). Szukany kąt ma miarę \(\displaystyle{ \alpha=30^{o}}\).