Pole powierzchni ostrosłupa-zadanie

[prezes9]

Wszystkie krawędzie ostrosłupa czworokątego są równe, a suma ich długości wynosi 64cm. Jakie jest pole tego ostrosłupa?

[jerzozwierz]

Za mało danych.
Zauważ, że pole powierzchni bocznej nie zmienia się w zależności od kształtu podstawy, gdyż są to 4 trójkąty równoboczne o boku \(\displaystyle{ 8cm}\)
A pole podstawy się zmienia.
Więc jakby to uogólnić, Pole to:

\(\displaystyle{ 64 \sqrt{3}+64sin \alpha}\).
Gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) to kąt między bokami podstawy.

[prezes9]

a skad ten pierwiastek z 3-- 19 mar 2009, o 18:26 --a tak w ogole to moglbys to bardziej wytlumaczyc bo nie bardzo rozumiem

[piasek101]

Prawdopodobnie pominąłeś w treści słowo ,,prawidłowego" - i stąd te kłopoty.

[jerzozwierz]

Dobra.
Ostrosłup czworokątny ma 8 krawędzi.
Każda jest równa, więc każda ma \(\displaystyle{ 8cm}\).
Podstawa to czworokąt, a ściany boczne to trójkąty.
Skoro każda krawędź ma jednakową długość, to ściany boczne są trójkątami równobocznymi.
Z wzoru na pole trójkąta równobocznego:
\(\displaystyle{ P= \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{4}}\)
Ścian bocznych jest 4, więc pole powierzchni bocznej to
\(\displaystyle{ 8 ^{2} \cdot \sqrt{3}}\)
czyli
\(\displaystyle{ 64 \sqrt{3}}\).
Pozostaje kwestia podstawy, która jest rombem.
Mamy wzór na pole trójkąta znając 2 boki i kąt między nimi:
\(\displaystyle{ P= \frac{1}{2}ab \cdot sin \alpha}\)
Romb możemy podzielić na 2 przystające trójkąty o dwóch bokach długości 8
\(\displaystyle{ P _{p}=2 \cdot \frac{1}{2}a ^{2}sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ P _{p}=64sin \alpha}\)
\(\displaystyle{ P _{c}=64( \sqrt{3}+sin \alpha )}\)